一道函数零点题的解法剖析

安徽省灵璧师范学校 (234200)

陈 伟

在解题过程中，尝试不同的视角分析解决同一个问题，可以强化知识间的联系，提高学生运用知识分析问题和解决问题的能力.本文结合一道函数零点题，剖析其多种解法，探讨解决函数零点问题的基本思路方法.

题目已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a．如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点，求a的取值范围．(2007年广东省高考题)

法一、二次函数零点分布

[-1,1]，所以a≠0.

由f(-1)f(1)<0，即(a-5)(a-1)<0，

得1

法二、参数分离法

解:函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点，等价于关于x的方程2ax2+2x-3-a=0在区间

[-1,1]上有解，即关于x的方程a(2x2-1)+2x-3=0在区间[-1,1]上有解.

列表如下：

x-1(-1,-22)(-22,3-72)3-72(3-72,22)(22,1)1g′(x)++0--g(x)5↗↗-3-72↘↘1

图1

也可采用如下参数分离法来解题.

函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点，等价于关于x的方程2ax2+2x-3-a=0在区间[-1,1]上有解，即关于x方程a(2x2-1)+2x-3=0在区间[-1,1]上有解.

列表如下：

x-1(-1,3-72)3-72(3-72,1)1h′(x)-0+h(x)15↘-3+7↗1

法三、数形结合法

图2

②当a>0时，二次函数y=f(x)图像开口向上，若在区间[-1,1]上有零点，则f(-1)≥0或f(1)≥0，得a≥1；

法四、正难则反

解:若函数y=f(x)在区间[-1,1]上没有零点.

[-1,1]；

②当a>0时，二次函数y=f(x)图像开口向上，若在区间[-1,1]上没有零点，则f(-1)<0且

f(1)<0，得0

③当a<0时，f(-1)<0且f(1)<0，二次函数y=f(x)图像开口向下，若在区间[-1,1]上没有零点，则二次函数y=f(x)图像的对称轴x=

变式训练已知a是实数，讨论函数f(x)=2ax2+2x-3-a在区间[-1,1]上的零点个数．