一个全平面上非齐次核的Hilbert型不等式

有名辉

(浙江机电职业技术学院数学教研室，浙江杭州 310053)

设f(x) ,g(x)≥0，且，则

其中π是满足（1）式的最佳常数因子[1].不等式（1）即经典的Hilbert不等式，以它为代表的Hilbert型不等式在分析学中有着重要的作用[2-3].

近年来，通过对积分核进行推广、演变，并借助实分析及复分析的相关技巧，研究者们建立了一系列定义在R+R+× 的Hilbert型不等式[4-9].与此同时，一些定义在全平面上Hilbert型不等式也零星地出现在各类文献中[10-12].如2013年，文[13]建立了如下一个核为双曲余割函数的Hilbert型积分不等式：

本文将建立如下核为双曲余割函数，定义在R×R上的Hilbert型积分不等式：

1 引 理

引理1 设r,s,β＞0,，x,y≠0，则

其中

证明：令xy=t，则

利用K(1,t)t∈(0,+∞)的无穷级数展开，可得

令u=[(r+s)k+r]t，则

故

类似地，令u=t-，可得

结合（8）式和（9）式，并利用（6）式，可得

把（10）式代入（7）式，即得（4）式.

类似可证（5）式.引理1证毕.

引理2 设r,s＞0,φ(x):=cotx,n∈N+,Cβ(r,s)如引理1定义，则

证明：由φ(x)=cotx的部分分式展开形式（见[14]p 397）：

对（12）式两边求2n-1阶导数，得

因此（11）式成立，引理2得证.

引理3Bn(n∈N+)是Bernoulli数[14]：φ(x):=cotx，则

证明：在（11）式中，令r=s，则

注意到[15]可得

结合（15）和（16）两式，可得（14）式.引理3得证.

证明：

令xy=t，由Fubini定理，可知

类似地，令xy=-t，由Fubini定理，可算得

结合（18）、（19）和（20）三式，可得

2 定 理

则

其中Cβ(r,s)如引理1定义，且 Γ(β+ 1)Cβ(r,s)是满足（21）式的最佳常数因子.特别地，当β=2n-1,n∈N+时，有

证明：由Hölder不等式和引理1，可知

若（23）式取等号，则有不全为零的实数A与B，使得

即

于是，有常数C，使得

不妨假设A≠0,则a.e.于(-∞,+∞).这与＜∞矛盾.故（23）式不取等号，（21）式得证.下证（21）式中的Γ(β+1)Cβ(r,s)为最佳常数因子.事实上，若此常数因子不为最佳，则有实数k（0＜k＜Γ(β+1)Cβ(r,s)），使得（21）式中的常数因子换成k后（21）式仍成立.即

用引理4中定义的fε和gε分别取代（24）式中的f和g，则

把引理4的结果代入上式，得： Γ(β+1)Cβ(r,s)+o(1)＜k.

令ε→0+，则k≥Γ(β+1)Cβ(r,s)，这与k＜Γ(β+1)Cβ(r,s)矛盾.故（21）式中的常数因子为最佳值.

特别地，令β=2n-1,n∈N+，利用（11）式，并注意到 Γ(2n)=(2n-1)!，可得（22）式.定理1证毕.

3 推 论

在（22）式中，令r=s,由引理3，得

则

特别地，在（25）式中，令n=r=1，并注意到，可得（3）式.

在（22）式中，令r=p,s=q，可得

推论2 设p＞1，，n∈N+,φ(x):=cotx,f(x) ,g(x)≥0，满足

则

特别地，在（26）式中，令n=1，则

推论3 设p＞1，,φ(x) :=cotx,f(x) ,g(x)≥0，满足

则

特别地，在（27）式中，令n=1，则