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一个全平面上非齐次核的Hilbert型不等式

2019-03-30有名辉

关键词:双曲常数实数

有名辉

(浙江机电职业技术学院数学教研室,浙江杭州 310053)

设f(x) ,g(x)≥0,且,则

其中π是满足(1)式的最佳常数因子[1].不等式(1)即经典的Hilbert不等式,以它为代表的Hilbert型不等式在分析学中有着重要的作用[2-3].

近年来,通过对积分核进行推广、演变,并借助实分析及复分析的相关技巧,研究者们建立了一系列定义在R+R+× 的Hilbert型不等式[4-9].与此同时,一些定义在全平面上Hilbert型不等式也零星地出现在各类文献中[10-12].如2013年,文[13]建立了如下一个核为双曲余割函数的Hilbert型积分不等式:

本文将建立如下核为双曲余割函数,定义在R×R上的Hilbert型积分不等式:

1 引 理

引理1 设r,s,β>0,,x,y≠0,则

其中

证明:令xy=t,则

利用K(1,t)t∈(0,+∞)的无穷级数展开,可得

令u=[(r+s)k+r]t,则

类似地,令u=t-,可得

结合(8)式和(9)式,并利用(6)式,可得

把(10)式代入(7)式,即得(4)式.

类似可证(5)式.引理1证毕.

引理2 设r,s>0,φ(x):=cotx,n∈N+,Cβ(r,s)如引理1定义,则

证明:由φ(x)=cotx的部分分式展开形式(见[14]p 397):

对(12)式两边求2n-1阶导数,得

因此(11)式成立,引理2得证.

引理3Bn(n∈N+)是Bernoulli数[14]:φ(x):=cotx,则

证明:在(11)式中,令r=s,则

注意到[15]可得

结合(15)和(16)两式,可得(14)式.引理3得证.

证明:

令xy=t,由Fubini定理,可知

类似地,令xy=-t,由Fubini定理,可算得

结合(18)、(19)和(20)三式,可得

2 定 理

其中Cβ(r,s)如引理1定义,且 Γ(β+ 1)Cβ(r,s)是满足(21)式的最佳常数因子.特别地,当β=2n-1,n∈N+时,有

证明:由Hölder不等式和引理1,可知

若(23)式取等号,则有不全为零的实数A与B,使得

于是,有常数C,使得

不妨假设A≠0,则a.e.于(-∞,+∞).这与<∞矛盾.故(23)式不取等号,(21)式得证.下证(21)式中的Γ(β+1)Cβ(r,s)为最佳常数因子.事实上,若此常数因子不为最佳,则有实数k(0<k<Γ(β+1)Cβ(r,s)),使得(21)式中的常数因子换成k后(21)式仍成立.即

用引理4中定义的fε和gε分别取代(24)式中的f和g,则

把引理4的结果代入上式,得: Γ(β+1)Cβ(r,s)+o(1)<k.

令ε→0+,则k≥Γ(β+1)Cβ(r,s),这与k<Γ(β+1)Cβ(r,s)矛盾.故(21)式中的常数因子为最佳值.

特别地,令β=2n-1,n∈N+,利用(11)式,并注意到 Γ(2n)=(2n-1)!,可得(22)式.定理1证毕.

3 推 论

在(22)式中,令r=s,由引理3,得

特别地,在(25)式中,令n=r=1,并注意到,可得(3)式.

在(22)式中,令r=p,s=q,可得

推论2 设p>1,,n∈N+,φ(x):=cotx,f(x) ,g(x)≥0,满足

特别地,在(26)式中,令n=1,则

推论3 设p>1,,φ(x) :=cotx,f(x) ,g(x)≥0,满足

特别地,在(27)式中,令n=1,则

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