矩形的平方和性质及其应用

☉武汉大学附属中学 谭 泽

一、定理及证明

已知矩形ABCD，P是任意一点，则|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2.

证明：连接AC，BD交于点O，则O为AC，BD的中点.

在△PAC中，由中线长定理，得

（2|PO|）2+|AC|2=2（|PA|2+|PC|2）.

在△PBD中，同理，得：

（2|PO|）2+|BD|2=2（|PB|2+|PD|2）.

故|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2.

图1

二、应用举例

解析：在矩形AB2PB1中，由矩形的平方和性质，可得|OB1|2+|OB2|2=|OA|2+|OP|2.

所以|OA|2=2-|OP|2.

图2

图3

点评：此题解法多样，但使用矩形的平方和性质，可以使解答更完美，过程更简洁！

例2 （2014年全国高中数学联赛初赛内蒙古卷第8题）向量a，b，c满足|a|=|b|=2，|c|=1，且（a-c）·（b-c）=0，则|a-b|的取值范围是______.

由矩形的平方和性质，可得：

|OD|2+|OC|2=|OA|2+|OB|2.

点评：本题使用矩形的平方和性质，可以再次感受到该定理的强大！

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

（2）设点F1关于两条切线的对称点为M，N，则根据椭圆的光学性质，可得：|MF2|=|NF2|=6.

连 接 MF1，NF1交 两 条 切线于点A，B，所以四边形AFBP

1为矩形，如图4，根据矩形的平方和性质，得：

图4

则|OP|2=13.

故点P的轨迹方程为：x2+y2=13.

点评：（1）此题解法较多，但是常规运算复杂，难以算出结果，这里的解法使用了圆锥曲线的光学性质，再加矩形的平方和性质，简便、快捷；

（2）此题的背景是教材上阅读材料中的蒙日圆，从阅卷结果看，没有考生使用此法解答.

此题可以推广，如下：

图5

图6

设点F1关于两条切线的对称点为M，N，则根据椭圆的光学性质，可得：|MF2|=|NF2|=2a.连接MF1，NF1交两条切线于点A，B，所以四边形AF1BP为矩形，如图6，根据矩形的平方和性质，得：

故点P的轨迹方程为：x2+y2=a2+b2.

三、考题在线

1.已知圆O：x2+y2=6，A，B为圆上两个动点，点M（1，1），若四边形PAMB为矩形，则点P的轨迹方程为______.

参考答案：x2+y2=2.

2（.2017年清华大学自主招生暨领军计划试题）已知P为圆O内一点，A，B为圆O上的动点，且满足∠APB=90°，则线段AB的中点M的轨迹形状可能为（ ）.

A.圆 B.椭圆 C.一段双曲线 D.一段抛物线

参考答案：A.

3（.2012年江西卷·理7）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则（ ）.

A.2 B.4 C.5 D.10

参考答案：D.

4（.2012年新课标卷·文23、理23）已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是P=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为

（1）求点A，B，C，D的直角坐标；

（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.