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数学模型搭舞台,数形共奏“核心素养”曲
——三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换的教学尝试

2019-03-28广东省广州市花都区第二中学张伟文

中学数学杂志 2019年5期
关键词:摩天轮解析规律

☉广东省广州市花都区第二中学 张伟文

三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换一直以来都是教学的重点与难点,尤其是三角函数既涉及横向伸缩变换,又涉及横向平移变换的时候,到底该“平移多少个单位”的问题往往令学生困惑不已,屡做屡错.对于这一难点的突破,广大教师是“八仙过海各显神通”.

一、难点突破的常规策略

1.看图识别

先让学生用“五点法”画出y=Asin(ωx+φ)的图像,比如,在同一坐标系下画出)的图像;然后观察某些特殊点的变换情况,例如,图像由y=sin2x变换到)时,原点发生了怎样的改变,平移了多少个单位;之后再组织学生多画几个特殊函数的图像,最后总结出图像变换的规律.

除此之外,还可以借助几何画板等软件,模拟演示函数y=Asin(ωx+φ)中各参数A、ω、φ对图像的影响,从中得出结论:参数A决定图像的最高点与最低点,参数ω决定函数的周期,参数φ决定函数左右平移的单位.通过不断的演示,最后得出在ω、φ的共同作用下,函数图像到底会发生哪些变化,并提炼出图像变换的规律.

借助图像提炼规律的优点是直观形象,思维门槛比较低,学生容易记忆变换的规律.但缺点也是显而易见的,那就是思维的严密性欠缺,通过几个特殊的函数与特殊的点,能否保证所得到的结论一定正确?教学实践证明,用这种方法得到的结论虽然容易记忆,但也容易遗忘和混淆.由此可见,图像的变换规律学生其实并没有真正理解与掌握.

2.解析突破

为了保证推理的严密性,很多老师又想办法从函数解析式入手,通过代数变换研究图像变换.比如,设点P(x,y)是函数y=sinx的图像上任意一点,将点P(x,y)沿x轴向左平移个单位,得到点因为点P满

1足函数所以点P在函数1的图像上;同理,反之也成立.所以函数)的图像是由函数y=sinx的图像向左平移个单位得到的.令(fx)=于是就得到结论:(fx)→函数图像向左平移个单位.之后再通过具体的函数例子作进一步验证,最终得到函数图像平移的一般结论:(fx)→(fx+φ),若φ>0,则函数图像向左平移φ个单位;若φ<0,则函数图像向右平移|φ|个单位.同理,也可以得到函数图像其他变换的一般化结论,于是,对于复杂的y=Asin(ωx+)图像变换,只需要分析它的解析式就能准确找到变换规律.

毋庸置疑,从解析式入手分析函数图像的变换规律,有助于学生透过表象发现函数图像变换的本质,并且可以把变换规则轻易地推广到其他类型的函数.但这种方法的弊端也是显而易见的,那就是过于抽象,若学生的思维层次没有达到一定的高度是很难理解与掌握的.

二、路在何方?

如果把上述两种教学策略有机地融合在一起,就能够兼顾图像的直观性与解析式的严密性,从而使学生获得一个比较完整的认知.但数形的完美结合离不开媒介的辅助,那么这两种教学策略的媒介是什么?

我们知道三角函数是刻画现实世界中周期运动的重要模型,尤其是匀速圆周运动,因此三角函数又称为“圆函数”.从任意角、任意角三角函数、同角三角函数关系、诱导公式,再到三角函数图像,单位圆模型都贯穿其中,无不体现“圆函数”特征.因此,单位圆模型才是三角函数的核心,也是联系数与形的纽带.于是突破本节课的难点的关键是构造函数y=Asin(ωx+φ)的现实模型,这样不仅可以让学生理解图像变换的本质,而且可以揭示各个参数的现实意义.

三、基于单位圆模型的教学尝试

1.数学模型搭台

先复习回顾定义阐述三角函数是刻画周期现象的重要数学模型,然后展示现实生活中匀速圆周运动的摩天轮画面.

问题1:如图1,设摩天轮的中心与地面距离为h0,其半径为1,摩天轮按逆时针做匀速转动,角速度为1rad/min(每分钟转动1弧度).

假如有乘客在摩天轮上的P点处,若P点从图1中的P0点处开始计算时间,则能否计算出在确定时间tmin时,乘客的高度h?

解析:容易得到乘客的高度h=sint

问题2:假如乘客在摩天轮上的P点处,若P点从图2中的P1点处开始计算时间,则能否计算出在确定时间tmin时,乘客的高度h?

图1

图2

图3

问题3:假如摩天轮的半径为A,摩天轮按逆时针做匀速转动的角速度为ωrad/mim,若从图3中的P1点处开始计算时间,请问:在确定时间tmin时,乘客的高度h?

解析:此时乘客的高度为h=Asin(ωt+φ).

意图:引导学生进行简单的数学建模,让学生感受函数y=Asin(ωx+φ)是刻画自然界周期现象的重要数学模型,具有丰富的自然背景.借助实际意义来加强理解函数y=Asin(ωx+φ)的图像性质是自然的、清楚的、明白的.

2.数形和谐共奏

如图4,从图像的视角可以得到:

从解析式的视角可以得到:

意图:通过画图,从数和形两个视角感受图像变换的情况,初步体会图像变换的规则.

问题5:对于上述图像变换,能否从圆周运动(摩天轮)的角度给出一个合理的解释?

假设两个质点A、B,它们都在半径为1的圆上、以1rad/min的角速度做匀速圆周运动.因为它们的起点相差rad,角速度均为1rad/min,所以两个质点相继经过圆上同一位置的时间差是定值为min,即从P开始运1动的B点比从P0开始运动的A点达到同一位置时相对晚了min(同一周期内);相应地,函数y=sinx图像上的点A与函数图像上的点B高度(纵坐标)相同时(同一周期内),因为B比A晚了所以B点的横坐标要比A点的横坐标大,又因为点A是任意的,所以函数的图像可以看成是将函数y=sinx的图像向右平移个单位而得到的.

问题6:函数y=sinx与y=sin(x+φ)的图像有怎样的关系?用摩天轮模型进行解释.

意图:借助函数模型,联系生活实际,理解图像变换的现实意义,从而加深对图像变换本质的进一步理解.同时,让学生掌握先从熟悉的、特殊的问题入手,再类比研究相对陌生的、一般化的问题,最后总结出研究问题的一般方法.

本节内容具有较高的育人价值,对于学生“四基”、“四能”的培养有重要作用,同时是发展学生数学素养的重要载体.在本节课中,首先通过创设真实的生活情境,引导学生用数学的眼光观察世界,抽象出数学问题;然后,让学生在情境中经历建立模型、分析模型的过程,发展学生数学建模的核心素养;最后,在归纳和验证图像变换规则的过程中,以现实意义为媒介架起数与形之间的桥梁,实现了直观想象素养与逻辑推理素养的有效提升.F

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