基于半参数模型的风险度量方法及其应用

胡宗义，唐建阳，万 闯

（湖南大学 金融与统计学院，长沙 410012）

0 引言

寻找合适的风险度量工具是风险测度工作的第一步也是重要的一步。在度量风险的众多方法中，在值风险（VaR）因其概念直观、计算简单等特点逐渐成为度量风险的主要工具。但VaR存在一些缺陷而饱受争议，如不满足风险可加性条件、无法有效利用分布总体信息以及对极端损失不敏感。鉴于VaR种种缺陷，Artzner等（1999）[1]提出使用预期不足（ES）代替VaR。ES定义为超出VaR部分资产损失的平均值，即ES（τ）=E（Y|Y＞VaR（τ））。与 VaR 相比，ES充分利用了资产损益分布的尾部信息，其大小也与损失的规模紧密相关，重要的是Rossi等（2009）[2]证明了ES为一致性的风险度量工具。

尽管ES从定义上来看克服了VaR的有关缺陷，但是测度ES却并不是一项容易的工作。现有度量ES的模型大多为参数模型，该类模型的一般步骤为首先假定收益序列服从某种分布，然后计算给定水平下的分位数作为VaR的估计值，根据VaR估计值对尾部的分布求积分。然而参数ES模型至少存在两点不足：第一，收益序列的分布随着时间的变化而变化，因此很难用一个合理的假设来刻画其分布类型；第二，在参数模型中，ES计算往往会涉及到积分运算，而在很多分布假定下，ES的积分运算不存在闭形式，因而会带来很大计算压力。

本文采用两种半参数模型度量ES，两种模型都是基于Engle和Mangnelli（2004）[3]提出的条件自回归在值风险（CAViaR）模型基础上得到。本文将两类模型引入到我国沪深股市中，实证分析两种模型在度量ES的效果上的优劣，进而总结两者模型的异同、优缺点等，为相关金融从业人员提供一种新的度量ES的手段，从而完善并发展我国股市风险度量技术。

1 模型构建

1.1CAViaR模型

CAViaR模型是由Engle和Mangaelli（2004）[3]提出，该模型是以分位数回归为基础，根据市场冲击特点来调整自回归形式，直接得到VaR的估计值。鉴于CAViaR模型的种种优点，使其迅速成为度量VaR的常用方法之一。CAViaR模型的一般形式如下：

其中ft（β）表示t时刻收益率的条件分位数（即VaRt），l（xt-j;Ωt）表示t-j时刻有限阶滞后可观测变量的函数并且是关于Ωt-j是可测的，它可以是收益率观测值或其他影响VaR大小的因素。VaR的滞后项βift-i（β）可以确保分位数更平滑的随着时间变化。Engle等给出了4种CAViaR模型形式，但是黄大山和卢祖帝（2004）[4]，刘新华和黄大山（2005）[5]分别用Chow检验和Hansen检验已经证明了Engle力荐的四种CAViaR模型不能很好地刻画中国股票市场特征。鉴于此，后来不断有国内学者提出各种改进的特征模型，用以丰富国内股票市场风险度量的研究，如王新宁和宋学峰等（2008）[6]提出的间接TARCH-CAViaR模型、张颖和孙和风（2012）[7]提出的GJR-CAViaR模型。结合国内外学者研究成果，本文选取以下四种模型形式为最终的实证模型。

非对称斜率（Asymmetric Slope,AS）—CAViaR:

间接GARCH（Indirect GARCH（1,1）,IG）—CAViaR:

间接TARCH（Indirect TARCH,IT）—CAViaR

GJR-CAViaR模型：

其中 （yt-1）+=max（yt-1,0）,（yt-1）-=-min（yt-1,0），yt为金融资产收益序列。

1.2CARES模型

同样，ES作为特殊的条件VaR，也应该存在自相关的特征，因此可以用自回归方程刻画ES的变化过程，其一般形式为：

其中γ为模型参数，γigt-i（γ）为 ES 的自回归项，m（yt-j;Ωt）表示t-j时刻有限阶滞后可观测变量的函数并且是关于Ωt-j是可测的。CARES模型的估计ES分为两步。

第一步：估计给定水平θ下的VaR值，即VaRt（θ）=ft（β），即计算与该CARES模型具有相同形式的CAViaR模型。对于CAViaR模型采取分位数回归的方法估计参数，其目标函数为：

从第一步结果可以获得β和VaRt（θ）的估计值

第二步：估计ES。ES定义为超出VaR部分的均值，因此在第二步中，只需对收益率的观测值超出相应的VaR部分进行建模。但是与式（7）中目标函数采用绝对值距离之和不同，在参数模型中，ES大小与收益率的波动率呈明显的平方关系。由此类推，在第二步中，用模型（6）估计ES，即gt（γ）=ESt（θ），模型（6）参数估计采用平方损失函数：

1.3CARE模型

条件自回归expectile（CARE）模型是Taylor在2008年提出来，CARE模型是在Engle和Mangnelli（2004）[3]的CAV-iaR模型的基础上稍作改进得到，两者之间既相似但不完全相同。主要区别在于模型参数的估计方法上，CAViaR模型主要是基于Koenker和Bassett（1978）[8]提出的分位数回归的基础上得到，而CARE模型则是在Newey和Powell（1987）[9]提出的expectile回归得到的。用expectile度量VaR和ES的一个重要原理是分位数与expectie之间存在着一一对应的关系。既然VaR可以看作某一分位数的估计值，因此可以用相对应水平下的expectile估计值度量VaR，进而获得ES估计值。

本文首先来介绍expectile与ES之间的关系。与分位数回归考虑绝对值偏差不同，expectile回归考虑如下非对称平方损失函数：

其中，ω∈（0,1）反映了边际损失的非对称程度，称为谨慎性水平（prudentiality level）。最小化式（9）得到的估计值称为Y的ω-expectile，令其一阶导数等于0可以推导出：

其中，F为金融时间序列收益y的累积概率密度函数，在大多数情形下，收益均值为0。Efron（1991）[10]证明expectile与分位数之间存在着一一对应的关系，即m（ω）=q（θ），这里ω要求满足低于m（ω）的观测值占比为θ。q（θ）为VaR的估计值，因此可以用m（ω）度量VaR大小。Yao和Tong（1996）[11]证明来谨慎性水平ω与θ之间代数关系。q（θ）为分布的θ分位数，因此得到F（q（θ））=F（m（ω））=θ。式（10）左边即为ES定义表达式，因而expectile与ES之间的关系为：

CARE模型与CAViaR模型具有相同的结构，但与式（6）中CAViaR模型用分位数回归求解参数不同，CARE模型通过ALS回归求解参数，其表达式为：

求解式（12）即可求得CARE模型参数β̂以及VaR的估计值。利用式（11）expectile与ES之间的关系可以直接得出ES估计值：

这里ω满足对于给定的θ，其对应的ω-expectile的估计值落在该值下方的样本比例为θ。

1.4 ES评估检验

CARE和CARES模型不仅可以刻画ES的动态波动序列，而且可以预测样本ES值，但是其预测效果需要采取特定ES检验。为了评估ES估计行为，本文采取McNeil和Frey（2000）[12]提出一种评估样本外ES行为的假设检验，该检验方法主要关注超出VaR的收益率观测值部分，其原假设为该部分观测值与相应的ES之间的标准偏差是服从零均值且独立同分布的。但CARE与CARES模型一个显著特征是模型不做任何分布性假设，因而只能通过Bootstrap方法来构造检验统计量，有关ES检验的Bootstrap方法的详细内容可以参考Efron和Tibshirani（1993）[13]。需要指出的是该方法只适用于样本外的ES检验，并且可以通过R软件实现，读者只需加载rugarch包中ESTest函数即可得到检验结果的p值。

2 实证分析

2.1 数据选取以及描述性统计

本文选取中国股市上最具代表性的上证综合指数（SSEI）和深证成份指数（SZSEI）两个指数每日收盘价作为本文研究对象。这是因为上证综指和深圳成指几乎涵盖了大部分的上市公司，其中深交所有1524家，上交所有944家。这两类指数充分考虑了国民经济的各个行业，具有很强的代表性。将两种指数100倍的每日对数收益率作为研究对象，其计算公式为：ri,t=100×（lnpi,t-lnpi,t-1），其中pi,t表示第i种指数第t期的每日收盘价。选择的时间跨度从2007年1月4日到2016年12月30日，共计2431组数据。其中前1931组作为训练样本，后500组数据构成测试样本。

本文数据来源于锐思数据库，表1概括了两种指数基本统计信息。由峰度和偏度指数可以看出，两种指数样本数据都呈现明显的高峰厚尾特征，并且都是左偏的。Ljung-Box Q（10）统计量表明在1%显著性水平下，两种指数存在显著的序列相关性。两种指数的ADF检验表明其为平稳时间序列，可以进行建模。

表1 两种指数收益率的描述性统计

2.2 模型参数估计结果

给定置信水平为95%和99%，分别用CARE和CARES模型对上证综指和深证成指样本内数据建模，模型的形式采用前文给定的式（2）至式（5）形式。但是对于CARE模型，必须首先确定θ=5%,1%对应的谨慎性水平ω，ω满足低于ω-expectile值的样本占总体得比例为θ，以得到水平为θ的ES估计值，便于与CARES模型得在同一水平下得到结果做比较。由于本文提出的ES模型一个显著特征是不对收益做任何分布性假设，即收益分布类型未知，因此使用Yao和Tong（1996）[11]中给出的公式确定ω是行不通的。鉴于此，本文采用三次样条插值法来确定两种指数在不同CARE模型下的ω值，结果见表2所示。

表2 给定α分位数水平下对应的ω（×100）

分别用上证综指和深圳成指的样本内1931组数据作为训练集合，时间区间为2007年1月4日到2014年12月15日，这其中中国股市先后经历了2008年金融危机以及2009年欧债危机，股市收益率也呈现明显的波动率聚集现象。而后500组数据作为预测样本，在预测时间内中国股市经历一次较大的波动，可以用于评估CARE和CARES模型预测行为的优劣。

2.3 ES预测绩效评估

通过训练样本可以获得模型的参数，进而可以获得样本外ES的估计值。为了评估模型对样本外ES预测行为，本文采取前文提出的检验ES的Bootstrap检验方法，得到的p值越大说明越不能拒绝原假设，因而该模型刻画ES预测行为的效果就越好。此外ES的预测效果还应与估计结果的失败率有关，即实际观测值超出ES的比率。良好的ES预测行为要求模型的失败率越小，而Bootstrap检验的p值越大。

表3 模型对比检验结果

从表3不难发现，对于上证指数，CARES模型的Bootstrap检验的p值均大于相应的CARE模型p值，而且其失败率均小于或等于CARE模型的失败率。这说明就上证指数而言，无论水平是1%还是5%的样本外ES估计值，CARES模型预测效果均优于CARE模型。对于上证指数水平为1%的ES估计，四类模型检验p值均远远大于0.05，反映出四种类型的模型均可以较好地刻画中国股市的未来变动情形。而对于5%的ES估计，只有GJR-CARE（S）模型通过Bootstrap显著性检验，因而在此情形下，可选择GJR模型作为最终的预测模型。

而对于深证成指，CARES模型预测结果表现得与CARE模型不相伯仲。以深证成指1%ES结果为例，ITARCH、GJR-CARES模型的Bootstrap检验和失败率两项指标均优于对应的CARE模型类型，因而可以选择ITARCH和GJR-CARES模型作为深证成指最终预测模型。同理，对于深证成指5%ES估计而言，综合考虑，选择IGARCH-CARES模型作为最终的预测模型。

2.4CARE与CARES模型对比分析

从CARE和CARES模型的建模到实证分析整个过程，本文可以总结出这类半参数ES模型的优点：第一，CARE和CARES模型均为半参数模型，避开了对收益分布做出的任何假设，从而克服了参数模型中可能设置的不合理的假设。这对于当前中国股市而言尤为重要，因为随着我国利率市场化的推进以及资本项目的开放，我国股市的发展面临的风险将日益复杂，各种政策性和人为因素的影响使得股市风险度量很难找到合理分布假设。第二，模型的条件自回归方程设置比较灵活，可以针对不同问题研究背景，选择合适的风险度量模型。例如本文的四类模型在刻画上证综指5%ES序列时，结果表现得都不是很理想，因而可以继续研究，发掘出更适合的模型使得两项指标都达到最优，这是本文的进一步工作。

从前文的结果可以得出，就我国沪深股市而言，CARES模型刻画股市预测的效果要明显优于CARE模型。这是由于CARE模型的建模过程决定的。CARE模型主要通过expectile回归求解模型参数，利用expectile与ES之间存在代数关系，从而得到ES的估计值。从建模的方式来看，该模型是通过间接方法获取ES估计值，导致了建模过程中存在两处明显缺陷，会直接影响最终ES预测结果。第一，为了估计模型参数，首先要选定θ=1%,5%水平下对应得谨慎性水平ω，本文利用样本内收益率通过三次样条插值法得到ω的估计值。但是当预测样本外的ES大小，CARE模型的谨慎性水平ω往往会随着时间的变化而变化，因此对最终预测结果产生影响。第二，CARE模型利用式（13）估计ES，为了得到ES估计值，必须首先估计VaR。而在VaR的估计中，随着时间变化的ω值同样会影响VaR的预测结果，进而会导致ES估计误差的增加。

而CARES模型则直接借鉴CAViaR模型的建模思想，将ES的波动序列视为一个条件自回归过程，只需给定历史收益率的观测值和置信水平，通过一定的优化算法就可以得到ES的估计序列，避免了其他外生性因素使得ES估计产生误差。此外，与CARE模型通过VaR的递归方程间接反映出ES波动特征不同，CARES模型直接刻画ES预测行为，可以很好地解释收益率序列中存在的波动率聚集现象和高峰厚尾特征。这对相关从业人员研究我国股市波动特征，考察市场风险的演化规律，具有重要的现实意义。

3 结论

本文详细介绍了度量预期不足（ES）的两种重要的半参数模型：CARE模型和CARES模型。两种模型均与CAViaR模型存在关联，并且都借鉴了CAViaR模型的建模优点，无需对收益分布做出假设等。通过将两种模型代入到我国沪深股指2007年1月4日到2016年12月30日近十年的历史数据中，得到样本外ES预测序列结果。通过半参数ES模型的Bootstrap检验与失败率两种指标综合分析，得出CARES模型对于中国沪深股市的风险度量效果要优于CARE模型。