巧用根的判别式

一元二次方程根的判别式是初中数学的重点，是重要的基础知识，也是解数学题的重要工具，其应用主要包括以下几个方面：①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况；②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围；③判断二次三项式是完全平方式时的待定系数；④判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。下面，我们列举几种常见的题型和解法供同学们参考。

【教材原题】（苏科版《数学》九下第117页）k取什么值时，关于x的一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？

【思路分析】因为方程有两个相等的实数根，所以Δ=0，将方程的系数代入根的判别式中，得到关于k的方程，进而求得k的值。

【解答】∵关于x的一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根，

∴Δ=b2-4ac=（-k）2-4×1×4=0，

解得：k=±4。

∴当k=±4时方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根。

【演变过程】本题是在不解一元二次方程判断方程根的基础上演变而来的。

【考题在线】

变式1如果关于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）。

A.k≥1 B.k＞1 C.k＜1 D.k≤1

【思路分析】可由方程根的情况判断判别式的取值，进而分析得出k的取值范围。

【解答】∵关于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有实数根，

∴Δ=b2-4ac=4（k-1）2-4（k2-1）=-8k+8≥0，

解得：k≤1。

故选：D。

【解后反思】本题应注意，有实数根包含有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，解题时要注意题目的不同说法。

变式2关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

【思路分析】根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，知Δ=b2-4ac＞0且k≠0，然后据此列出关于k的不等式，解不等式即可。

【解答】∵kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，∴Δ=1-4k＞0，且k≠0，

【解后反思】本题主要考查根据方程根的情况求方程待定系数的取值范围。解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件。

变式3 求证：无论k取何值，方程x2-（k+3）x+2k-1=0都有两个不相等的实数根。

【思路分析】先用含k的代数式表示出根的判别式，再通过配方说明其不小于0。

【解答】Δ=（k+3）2-4（2k-1）=k2+6k+9-8k+4=k2-2k+13=（k-1）2+12，

∵（k-1）2≥0，

∴（k-1）2+12＞0，

则无论k取何实数，原方程总有两个不相等的实数根。

【解后反思】此题考查了根的判别式在证明方程根的情况这类问题中的应用，这类问题需要先对根的判别式进行配方，再对配方结果的取值进行分析，最终得出结论。

变式4 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）。

A.6 B.5 C.4 D.3

【思路分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ≥0，即可得出m≤3，由m为正整数，结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论。

【解答】∵a=1，b=2，c=m-2，关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根，

∴Δ=b2-4ac=22-4（m-2）=12-4m≥0，

∴m≤3。

∵m为正整数，且该方程的根都是整数，

∴m=2或3。

∴2+3=5。

故选：B。

【解后反思】先由根的情况求出字母系数取值范围，再根据题中条件分析，最终确定m的值。

变式5 若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式，则k=________。

【思路分析】可以令二次三项式等于0，若二次三项式是完全平方式，则方程有两个相等的实数根，即Δ=0。

【解答】令16a2+ka+25=0，因为方程有两个相等的实数根，所以Δ=k2-4×16×25=0，所以k=40或者-40。

答案：40或者-40。

【解后反思】当Δ=0时，二次三项式是一个完全平方式，把满足题目的所有条件列成一个方程求解。

变式6 已知函数y=mx2-6x+1（m是常数），若该函数的图像与x轴只有一个交点，求m的值。

【思路分析】应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用根的判别式解答。

【解答】①当m=0时，函数y=-6x+1的图像与x轴只有一个交点。

②当m≠0时，若函数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点，则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根，所以Δ=（-6）2-4m=0，m=9。

综上，若函数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点，则m的值为0或9。

【解后反思】抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式有着密切的关系，由交点个数可以得到根的判别式取值范围，由根的判别式取值范围也可判断交点个数。

在中考复习中，我们要善于分析和思考，及时总结，做到举一反三，才能有效提高我们解决问题的能力。