电桥电路的拓扑结构及计算电阻的2种方法

(南通大学物理系,江苏 南通 226019)

图1 电阻网络图

在实际问题中电阻网络模型的结构复杂多变, 如何将电阻网络进行简化是更好地解决电阻网络等效电阻问题的关键. 本文受文献[1-8]研究成果的启发, 拟研究一种电桥电阻网络的多种变换结构及其等效电阻的不同求法. 本文选用图1所示的电阻网络开展研究, 该电阻网络是一个内含交叉(不连结)电阻的一种电阻网络, 该电路中含5个不同的电阻元素, 由于电阻的非对称性因而计算其等效电阻时显得比较复杂.

1 电桥电路的拓扑变换

能否将图1结构变换成为常见的通俗易懂的电路结构?我们给出了图1的2种拓扑变换, 即在研究电桥电路时连续改变电路形状, 其基本电学性质还能保持不变的变换. 研究发现图1所示的电路结构可以拓扑变换成为如图2和图3所示的电阻网络. 其中图2属于一种常见的非平衡电桥电路, 而图3属于一种三角形cobweb模型.[1,7]

识别图1-图3所示3种电阻网络等价的方法:我们采用各节点间连接的电阻来判断, 在3个电路中, 与A节点相连的电阻有r,r0,r2;与B节点相连的电阻有r,r0,r1;与E节点相连的电阻有r,r1,R0;与F节点相连接的电阻有r,r2,R0, 对比可以得出3个电阻网络完全等价. 显然在图2所示电路中连线A-E-B-F构成一电桥, 其中r,r1,r,r2为4个桥臂电阻,R0为桥电阻. 由于该电路结构特殊, 各个元件之间的连接并非简单的串并联关系, 但是当电桥平衡时, 即当r:r1=r2:r时, 称图2所示电路为平衡桥电路. 此时可以将桥电阻作断路等效处理, 则该电路的等效电阻为

(1)

其中利用了r1r2=r2.当电桥不平衡时,无法用简单的串并联电路分析、求解.由此本文选用两种一般性解法来研究非平衡电桥电路等效电阻.

2 应用基尔霍夫方程组计算等效电阻

图4 含有电流参数的二端电路网络模型

接下来我们基于图1应用基尔霍夫定律建立方程组来计算A和B两节点之间的等效电阻RAB.假设在节点A输入恒定的电流并且让电流在节点B输出, 同时定义其他分支电流, 如图4所示:I1为流过上边界r的电流;I2为流过R0的电流;I3为流过r0的电流;I4为流过下边界r的电流;I5为流过r2的电流;I6为流过r1的电流.

对图4电阻网络运用基尔霍夫定律得到回路电压方程

I1r+I6r1-I3r0=0,

(2)

I5r2+I4r-I3r0=0,

(3)

I1r+I2R0-I5r2=0.

(4)

对图4电阻网络运用基尔霍夫定律得到回路电流方程

I5=I-I1-I3,

(5)

I4=I2+I5,

(6)

I6=I1-I2.

(7)

解以上诸多方程得到一个关于I3与I的关系式

(8)

其中

(9)

方程(9)就是我们要寻找的非平衡电桥等效电阻的计算公式. 将(9)式变形得到

(10)

可以看出, 当

(11)

时,方程(10)可简化为

(12)

(13)

将(13)式代入(12)式即得到结论(1), 显然, 当r1r2=r2时, 等效电阻RAB与R0无关.

3 运用Δ-Y等效变换求解等效电阻

图5 Δ-Y等效变换后的电阻网络

下面拟基于图2电路经拓扑变换后计算A和B两节点之间的等效电阻. 接下来我们将运用Δ-Y等效变换法[3]将图2中的三角形AEF电路拓扑变换成为电阻分别为RA,RE,RF的星(Y)型电路网络.这种变换能够保持原有电路的基本属性. 由此我们将图2所示电阻网络转换为如图5所示的电路来求解电阻网络的等效电阻.

利用Δ-Y等效变换公式, 可得

(14)

(15)

(16)

则图5上半部分(A→B)两点间的等效电阻为

(17)

最后由并联电路电阻计算公式可以得到电路的等效电阻

(18)

由于本文的计算过程是精确和严密的, 因而由公式(18)得出的等效电阻必然等价于图1所示电阻网络得到的等效电阻(9). 下面给出一个简单验证.

不妨设各个电阻的阻值分别为r=1 Ω,r1=2 Ω,r2=3 Ω,R0=4 Ω,r0=5 Ω, 则将各数据代入方法1中的a、b表达式, 计算得到

(19)

将各数据代入方法2中的方程(14)～(17), 求得

(20)

(21)

显然2种不同的思维思路所采用的不同计算方法而得到的结果完全相同. 这也证明了物理学的不同规律和方法是完全自洽的和能够相互验证的.

4 小结

方法1依据图1结构采用基尔霍夫定律求出等效电阻, 方法2依据图2结构采用Δ-Y等效变换求出等效电阻, 尽管2种结果的表达式完全不同, 但却是等价的.