浅谈如何在数学教学中运用整体思维解决问题

摘 要：整体思维活跃在中学数学的各个知识点中，作为中学数学思维的一个重要分支，整体思维有着不可替代的地位。本文就整体思维在中学数学中的一系列表现，如：整体代入、整体联想、整体改造、局部整体、整体构造、整体补形等。突出在中学数学学习中整体思维的重要性，并对其进行了简单的探討。

关键词：整体思维；中学数学；表现

在整个中学数学的学习中，学生会接触到很多的数学思维，而整体思维就是其中的一种。通过整体思维的学习，学生不仅可以发现数学解题方法的奥妙，也可以发现数学的简洁美；在日常生活中，整体思维的学习也让学生学会从整体，从全局着手处理问题，不能只看到问题的局部。因此，研究整体思维在中学数学中的应用，显得极其重要。

整体思维的定义

整体思维在辩证法中，又叫作系统思维，它认为事物是由各个局部按照一定的秩序组织起来的整体，在解决问题时人们应该持有整体或者全面的观点，不能以偏概全。

整体思维的主要表现形式有：整体代入、整体联想、整体构造、整体构形、整体替换等等。

一、 整体代入

整体代入是指：在解决问题时，将题目中的已知条件或者一些式子的组合看作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入其他式子，从而方便解题，避免运算的繁琐和困难。

例1：若3a2-a-1=0，则7+2a-6a2=

分析：仔细观察两个等式，若要从已知条件求出a的值，虽然可以，但会有点烦，而细心的同学可以发现，如果把3a2-a看作一个整体，再乘-2，就可以得到-6a2+2a=-2，再整体代入所求式子就可以得出答案。如果在解题时能善于从全题考虑，发现其中的联系运用整体思维就能大大地节约时间。

二、 整体联想

整体联想是指，在解题时寻求不同知识体系的内在联系，从分析问题的整体结构出发，充分挖掘题目中的隐藏条件，从而使问题的解决变得简单。

例2：已知a，b为两个不相等的实数，2a2=5-2a，2b2=5-2b，求ba2+ab2。

分析：依据常规，学生习惯于先求出a，b，但如果这样解一个方程组，我们就需要分成四种情况去讨论，运算会非常得繁琐，而且容易出错。但如果我们能以整体的思维，整体联想，从已知条件，我们可以发现a与b是方程2x2+2x-5=0的两个不相等的根，由此我们可以整体联想到韦达定理根与系数的关系，再看我们所要求的式子本身的特点，即ba2+ab2可以改写为：b3+a3（ab）2=（a+b）3-3ab（a+b）（ab）2，这样我们就只需求出a+b与ab，从而所求问题可以迎刃而解。

三、 整体构造

整体构造是指：在解决问题时，对题目中的某个式子进行整体构造或者改造得到另一个式子，然后通过构造后的式子去解决问题。

例3：已知：tanα-β2=12，tanβ-α2=-13。求tan（α+β）。

分析：已知条件给了我们关于α，β，α2，β2的关系式，可结论要我们求的却是：（α+β），所以我们要从整体考虑，用构造的方法来求解。把已知和未知相联系，从而求解。

整体构造在高中数学中可以说是经常用到，如果能很好的掌握这种方法，并且熟练运用到实际练习中，可以大大拓宽学生的思维，提高学生的解题能力。

四、 整体构形

整体构形是指：在解决问题时，我们从代数的角度无法求解，可以整体思考，通过构造图形，进而解决所求问题。

例4：已知在三棱锥P-ABC中，PA=BC=234，PB=AC=10，PC=AB=241，则三棱锥P-ABC的体积为多少？分析：若按常规方法利用体积公式求解，三棱锥的底面积可用公式求出，但顶点到底面的高在这道题目中无法作出，也就没有办法求出解。但此题如果能换个角度来思考，从整体入手，注意到条件中三棱锥的有三对边两两相等，可以进行整体补形，想象若把它放在一个特定的长方体中，那么这个问题就不难解决。

五、 整体替换

整体替换是指：在解决数学问题时，我们可以将题目中某个式子或者部分，用其他形式来表示，替换掉原来的式子，从而让题目看起来简单明了。

例5：求：y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域。

分析：此题如果直接去看这个式子，因为没有给出定义域，没有范围，会不知道怎么去求解。但如果我们能把原式中的式子看作一个整体，即：令sinx+cosx=t，t∈（-2，2），把后一个式子sinx·cosx也用t替换表示。那就可以求出所要求的解析式值域了。

解：令sinx+cosx=t，t∈（-2，2），则：sinx·cosx=t2-12。

∴y=1+t+t2-12=t22+t+12=12（t+1）2。又∵t∈（-2，2），∴ymin=0，ymax=32+2，∴y的值域为：0，32+2。

这种方法在高一函数中运用较多，运用替代换原的方法可以把看上去比较繁琐的问题变得简单化，从而可以整体思考解决问题。

在中学数学的学习中，必须加强对学生整体思维的培养，这样不仅可以帮助学生解决数学题目，更能够培养学生在生活中，树立整体的思维，用全面的、辩证的眼光去看待和解决问题。因此，加强整体思维的培养，在中学数学教学中是极其重要的。

参考文献：

[1]李侠.寓整体思维于高中数学教学中[J].数学教学通讯：教师阅读，2010（6）：25-26.

[2]周学祁.整体方法（中学数学思维方法丛书）[M].河南：大象出版社，1999：17-29.

[3]薛玉皎.中学数学整体思想的应用及解题策略分析[J].中学课程辅导：教学研究，2010（17）：6-7.

作者简介：

陆超群，江苏省苏州市，平望中学。