一道模考题解法的探究与启示

摘 要：在历年高考的三角函数与解三角形高考题中，常涉及三角形中中线、高线、角平分线问题。本文从模考题多角度的解题，变式以及推广等得到高三复习教学中的一点启示。

关键词：高考；解法；思想方法；教学

一、 试题呈现

题目2017年皖北地区联考17题：在△ABC中，内角A，B，C的所对边长分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（2x-π6）满足：对于任意x∈R，f（x）≤f（A）恒成立。

（1） 求角A的大小；

（2） 若a=3，求BC邊上的中线AM长的取值范围。

本题中考查三角函数的性质、正余弦定理、重要不等式等知识，突出了对基础知识和基本技能的考查，具有一定的综合性。

二、 解法探究

解法1：（1）函数f（x）=sin（2x-π6）取最大值是x=kπ+π3，k∈Z，

而A∈（0，π），所以A=π3。

（2） 在△ABM中，AM2+34-2AM·32·COS∠AMB=c2。

在△ACM中，AM2+34-2AM·32·COS∠AMC=b2。

两式相加得：AM2=b2+c22-34。在△ABC中，b2+c2-2bccosπ3=3，得3

所以

解法2：（2）在△ABM中，AM∈32，32AMsinB=32sin∠BAM。在△ACM中，AMsinC=32sinπ3-∠BAM。由两式得：AM2=sin2B+sin2C+sinBsinC

因为B+C=2π3，可得AM2=54+sin2C-π6

因为C∈（0，2π3）所以AM∈32，32

解法3：（2）因为AM=12（AB+AC）

所以AM2=14（AB+AC）2=14（b2+c2+2bccosA）因为cosA=b2+c2-a22bc得：AM2=b2+c22-34。在△ABC中，b2+c2-2bccosπ3=3，得3

所以AM∈32，32

本题第（2）问可以变式：

（1） 求BC边上的高线AM长的取值范围？

（2） 求A的角平分线AM长的取值范围？

△ABC改为“锐角△ABC中”，若a=3，求BC边上的中线AM长的取值范围？”

△ABC改为“钝角△ABC中”，若a=3，求BC边上的中线AM长的取值范围？”

本题第（2）问可以推广：

1. 在△ABC中，内角A的所对边长分别为a，若A为锐角，则BC边上的中线AM长的取值范围是AM∈a2，121+cosA1-cosAa。

2. 在△ABC中，内角A的所对边长分别为a，若A为钝角，则BC边上的中线AM长的取值范围是AM∈121+cosA1-cosAa，a2。

三、 教学启示

学生在高三复习时，已经是做了很多题的状态，老师也是讲解了很多题，不仅注重基础知识的教学，还注重新题型的教学，但是学生在考试时还是会出现很多问题，即使是考查的知识点一样，题型变化了学生还是想不到，笔者基于这一现象，提出了三个解决问题的方法：

（一） 用思想方法指导解题

数学思想方法是指学生对于数学本质的理解，任何数学问题在变化时都离不开其出题的本质。老师在教导时，要让学生学会研究出题者的意识，明白这个数学题在考查什么，是哪一类的知识或者是哪种解题思路，数学注重的是思想和方法，要让学生学会正确的解题思路，注重问题的本质探究，得出一系列问题的解题思路，让学生更容易掌握利用，提高学生的数学能力。

（二） 注重数学思维的引导

学生在解题时，要学会关注问题的本质，整合各类解题思路，进行思路整合有两个方面：一方面从题目本身出发，研究问题给出的条件和需要解决论证的问题，另一方面结合学习的数学方法或者是公式进行解题，比如运用正余定理解决方程问题，求中线的取值范围。老师在教学时要多进行引导，让学生自己熟练掌握，看见这一类问题，学生就知道考查的知识点是什么。

（三） 培养题后的反思能力

学生在高三复习时，会进行大量数学题的练习，学生在解题过程中提升自己的能力，要锻炼学生举一反三的能力，不能让学生只局限于书本上的学习。学生能力的提升是学生从自身出发的提升，是有意识的提升，从做过的题中找到新的解题思路，运用到新的数学题中，在做题中反思、思考，让学生学会自我反思，提高学生以后的解题效率。

作者简介：

占北淮，安徽省宿州市，安徽省宿城第一中学。