数学“一题多解”教学的偏差与矫正

屠桂芳

“一题多解”是指从不同的视角， 运用不同的思维方式， 来解决同一道题。在数学教学中， “一题多解”历来受到重视和推崇。数学教师常常在抵御“题海战术”时说它是“举一反三”， 在倡议“精讲精练”时说它是“活学活练”， 在防止填鸭式教学时说它是课堂生成与能力培养， 在开展探究式教学时说它是思维发散与创意发展。特别是在一些观摩课上， “一题多解”的案例频频出现， 讲课教师讲得精彩、上课学生看得热闹、评课专家听了赞赏。

笔者也很喜欢“一题多解”， 课堂的解题教学如此， 课后的解题研究更如此。然而， 近一阶段， 笔者观摩了一些数学课， 关注了其中的“一题多解”教学， 对这种常见模式的不当使用产生了一些担忧。下面， 指出“一题多解”教学中的一些偏差现象， 希望引起大家的重视;寻求解决这一问题的矫正途径， 以期引發大家的思考。

一、“一题多解”教学的偏差

（一） 偏离教学目标

例如， 《等差数列通项公式》一课的教学目标可简述为掌握等差数列的通项公式， 体会方程思想， 并能应用公式解决相关问题。为此， 课堂教学应围绕等差数列通项公式的由来、内涵及应用来展开， 涉及的主要知识与思想方法有求等差数列的通项公式 （归结为求基本量a1和d， 可以用定义法和待定系数法） 、由等差数列的通项公式求某些指定项 （包括判断某些数是否为数列中的项） 、求一个有穷等差数列的项数等。即围绕等差数列通项公式中的a1、d、n、an“知三求一”的各种形式的问题 （含实际应用题） ， 巩固知识， 熟悉方法， 形成能力， 并且领会基本量法和方程思想。至于能力上的再提高， 还可以着眼于an与am的有关性质以及与函数、不等式的联系和综合应用等， 不过， 首先要完成通项公式的掌握和应用。

但是， 一位教师在课堂教学中， 用约5分钟的时间完成了通项公式的归纳和记忆， 然后呈现教材上的三个典型例题， 对其中涵盖的基本量“知三求一”问题及方程思想方法没有深入探究， 认为“这些内容太平凡”;而重点关注利用一次函数的图像、am+an=ap+aq （m+n=p+q） 、直线的斜率等多种方法解题， 想“让大家看到更精彩的内容”。综观这节课， 概念内涵简化了， 公式教学淡化了， 基本联系弱化了， 而且难以让学生熟练应用基本知识解决相关问题。这就是因不合时宜地使用“一题多解”而偏离教学目标所产生的后果。

（二） 扰乱学生思维

根据美国心理学家吉尔福特的观点， 发散思维 （主要特征为流畅性、灵活性、独创性、精致性， 一般方法有材料发散法、功能发散法、结构发散法、形态发散法、组合发散法、方法发散法） 与聚合思维 （主要特征为封闭性、连续性、求实性、聚焦性， 常见方法有抽象与概括、归纳与演绎、比较与类比、定性与定量） 既相互对立、又相互依存。离开了发散思维， 聚合思维就难有创新;离开了聚合思维， 发散思维也不可能展开。

毫无疑问， “一题多解”有利于发散思维的培养， 而发散思维又是创造力的核心。但是， 在学习的过程中， 特别是在新知识起步阶段， 知识结构的系统性和能力的完整性是亟待解决的首要问题， 知识的再现式应用和解题行为的初步尝试都应占相当多的时间， 此时急切需要形成的是聚合思维。因此， 在聚合思维初具规模之前， 过分地强调发散思维的培养， 是违背思维发展规律的， 也是难有实效的。

例如， 在《不等式证明》第二课时中， 教学分析法时， 可以通过例题“若x1、x2∈R， 求证：”， 说明分析法的基本思路、书写要求、方法实质等， 让学生将分析法完整地构建到自己的知识体系中， 然后通过类似的问题进行巩固与提高， 形成学科能力。为了使形成的能力具有更加广泛的可迁移性， 还需要把能用分析法证明的重要问题形式， 如等， 作为例题或练习， 让学生在鉴别与比较中形成更完整的知识体系和能力结构。

然而， 有教师在用分析法证明完这道例题后， 立即转入针对此题的“一题多解”演示：在近30分钟的时间里， 从平均值不等式到柯西不等式， 从换元法到数形结合……通过课件提供了7种证明方法。这些方法出自不一样的思路、不一样的模式， 使得分析法的思路、模式受到严重干扰， 学生在分析法还没有得到巩固的情况下， 思维和认识发生了弥散， 找不到共通的规律性， 学习效果很差。

（三） 排斥学生参与

“请同学们看一看， 还有没有其他方法？”“请同学们想一想， 不这样做行不行？”这些是“一题多解”教学中教师经常采用的提示语。这种设问本意是让学生积极地参与到课堂活动中， 但这种设问太过空泛， 不具有针对性， 因此往往起不到很好的效果。这时， 教师就会千方百计地加以引导和暗示， 希望学生能“发现”教师早已准备好的解法。只要引导和暗示足够充分， 往往是能够见效的。一个新的解法出现， 课堂气氛就会活跃起来。教师、学生和听课的人就会感到满意。于是进入下一轮：“大家再看看， 还有吗？”……

其实， 深入分析这样的“一题多解”教学， 就会发现它在一定程度上呈现了“虚假的繁荣”， 掩盖了一些缺陷。在最初的常规解法学完之后， 后面的其他解法往往具有一定的技巧性， 教师通过长期钻研、广泛阅读能够提供， 但是学生很难频现这些“奇想”， 屡出这些“奇招”， 一些学生甚至很难跟上教师的节奏。笔者曾听一位学生说道：“就一道题目， 老师一会儿写出一种解法， 问我们还有没有， 我们不知道;就又写出一种， 再问我们还有没有， 我们哪里会想得出。老师一共写了8种方法， 正好也下课了。”这种灌输式罗列解题方法是典型的“解题秀”， 学生只能“望题兴叹”“欣赏观看”“微笑称赞”。学生的主体参与无法得到真正的落实， 学习效果也就不会很好。

二、“一题多解”教学偏差的矫正

（一） 紧扣目标

“一题多解”不是解法越多越好， 而应紧扣教学目标， 将各种不同的知识点融通在解题方法中， 让学生明晰“一题多解”的价值， 注重“通性通法”的探索， 了解各种解法的联系和蕴含的数学思想。“一题多解”的过程不宜面面俱到， 而要对不同解法做取舍或详略处理， 注重解题的思路训练和解法的对比筛选， 其中基本方法重在理解掌握， 特殊方法重在思维过程。形式必须服从内容， 那些与课堂教学目标相关度比较小或相冲突的， 导致学习没有明确方向的方法， 应当毅然割舍。

（二） 关注学情

对数学知识有不同体验和认识的学生， 在“一题多解”中会有个性化的思路和解法。“一题多解”不宜刻意追求解法的新奇， 而要关注学生的学情， 重视学生能理解、能发现 （可适当提示） 的思路和解法。为此， 要营造接纳的、支持的课堂氛围， 让学生自己思考， 展现自己的原本思维;细致分析学生成型或不成型的解法， 让学生有“这种解法我也能想出来， 不太难”的心理基础， 且使学生的个性化解法越来越合理、可行。

（三） 选择时机

苏联心理学家维果斯基的“最近发展区”理论告诉我们， 只有教学内容处于学生的“最近发展区”时， 教学才是可行且有效的。“一题多解”重在启发学生积极思考， 充分发挥聪明才智， 从不同的视角、利用不同的条件、通过不同的路径， 寻求问题的多种解决方法。“一题多解”要把握好教学时机， 在知识新授课中应尽量少用， 而比较适宜在章节复习课、方法归纳课、小组合作研讨与练习课中使用。

（四） 结合“一题多变”

美国数学教育家G.波利亚说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目， 帮助学生挖掘问题的各个方面， 使得通过这道题， 就好像通过一道门户， 把学生引入一个完整的理论领域。”“一题多解”需要结合“一题多变”， 进行变式教学， 从而多角度、全方位地挖掘问题的内涵和价值， 把问题逐步发展或者延伸， 成为反思與建构的一种形式。进而帮助学生明确题目中哪些条件或目标的变化会导致哪些方法不适用或更简捷， 使学生“懂一题， 会一片”。另外， 变题比解题要求更高， 需要站在出题者的角度看问题， 对原问题有深刻的理解把握和直觉的判断领悟， 以充分调动学生的好奇心与探究欲， 改善学生的思维品质， 提升学生的认识层次。

这里， 解法1、解法2的关键是画出可行域， 然后根据目标函数的几何意义得出结论， 是解决线性规划问题的常规思路， 可以在学习线性规划时及时运用;解法3是运用不等式的性质， 关键在于求出系数， 可以在学习不等式时综合运用;解法4是利用向量数量积的几何意义， 可以在学习向量数量积后综合运用。

此外， 该题的目标为求z=x+2y的最小值。对其可以“一题多变”如下：

变式1求z=x+2y的最大值。

变式2求的取值范围。

变式3若 （4， -5） 是z=y-ax取得最大值的最优解， 求实数a的取值范围。

变式4若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一， 求实数a的值。

变式5若z=y-ax （a>0） 取得最大值的最优解唯一， 求实数a的取值范围。

这样的“一题多变”有助于培养学生发散思维和聚合思维， 发展学生的应变能力， 增强学生面对新问题时敢于联想从而分析解决问题的意识。

（作者单位：江苏省南京市第十三中学）