三元生成的且A2群所含内交换子群的个数

李伟

【摘要】 利用A2群的分类[6]给出了三元生成的且所含交换极大子群小于等于1的A2群所含A1子群的个数.

【关键词】 p群;A2群;A1子群的个数;交换极大子群个数

主要结果  若G是三元生成的且所含交换极大子群小于等于1的A2群，则G中A1子群的个数有下列情况.

若G′≌C2p，则α1（G）=p2+p;

若G′≌C3p，则α1（G）=p2+p+1;

预备知识  下面介绍一些本文要用到的基本概念和一些已知结果.

引理1 [3] 设G是有限p群，则Φ（G）=G′Ψ1（G），且 G Φ（G） 是初等交换p群，并且若  G Φ（G）  =pd，则G的每个最小生成系恰含d个元素，并且 G Φ（G） 中的元素x都至少属于一个最小生成系.

引理2 [1] 设G=〈x1，x2，…，xn〉是非交换p群且d（G）=n，则G的极大子群分别是：

（1）M=〈Φ（G），x2，…，xn〉;

（2）Mi1=〈Φ（G），x1xi12，x3，…，xn〉;

（3）Mi1i2=〈Φ（G），x1xi13，x2xi23，x4，…，xn〉;

…

（n）Mi1i2…in-1=〈Φ（G），x1xi1n，x2xi2n，…，xn-1xin-1n〉，其中，ij=0，1，…，p-1.j=1，2，…，n-1.

引理3 [7] 若G是非交换p群，则G中交换极大子群的个数是0，1或p+1个.

引理4 [6] G是三元生成的A2群当且仅当G为一下互不同构的群之一：

（一）d（G）=3，G′≌C2p，G有唯一的交换极大子群.

（1）〈a，b，c|a4=b4=1，c2=a2b2，[a，b]=b2，[c，a]=a2，[c，b]=1〉.

（2）〈a，b，d|apm=bp2=dp=1，[a，b]=apm-1，[d，a]=bp，[d，b]=1〉，其中m≥2.特别地，若p=2，则m≥3.

（3）〈a，b，d|apm=bp2=dp2=1，[a，b]=dp，[d，a]=bjp，[d，b]=1〉，其中p>2，j，-4j）2.

（4）〈a，b，d|apm=bp2=dp2=1，[a，b]=dp，[d，a]=bjpdp，[d，b]=1〉，若p>2，则4j≡1-ρ2r+1（modp），其中1≤r≤ p-1 2 ，ρ是模p原根中的最小正整数;若p=2，则j=1.

（二）d（G）=3，G′≌C3p，G没有交换极大子群.

（5）〈a，b，d|a4=b4=d4=1，[a，b]=d2，[d，a]=b2d2，[d，b]=a2b2，[a2，b]=[b2，a]=1〉，其中p>2，j，-4j）2.

下面分别计算A2群中A1子群的个数.

定理1  设G是A2群且d（G）=3.若G′≌C2p，则α1（G）=p2+p.

证明  由假设条件可知，G是引理中（1）-（4）型群之一.下面分别进行计算.

若G是（1）型群，经计算可得Z（G）=φ（G）=〈a2，b2〉，由于d（G）=3，于是G的极大子群为：M=〈φ（G），b，c〉，Mi=〈ι（G），abi，x〉和Mij=〈φ（G），axi，bcj〉，其中i，j=0，1.若M=〈φ（G），b，c〉，则由于[b，c]=1，φ（G）=Z（G），于是M∈A0;若Mi=〈φ（G），abi，c〉，则由于G是A2群且[abi，c]=a2≠1，于是Mi∈A1;若Mij=〈φ（G），aci，bcj〉，则由于G是A2群且[aci，bcj]=b2a2j≠1，于是Mij∈A1，所以α1（G）=p2+p.

若G是（2）型群，经计算可得Z（G）=φ（G）=〈ap，bp〉，由于d（G）=3，于是G的极大子群为：M=〈φ（G），b，d〉，Mi=〈φ（G），abi，d〉和Mij=〈φ（G），adi，bdj〉，其中0≤i，j≤p-1.若M=〈φ（G），b，d〉，則由于[b，d]=1，φ（G）=Z（G），于是M∈A0;若Mi=〈φ（G），abi，d〉，则由于G是A2群且[abi，d]=b-p≠1，于是Mi∈A1;若Mij=〈φ（G），adi，bdj〉，则由于G是A2群且[adi，bdj]=b-jpapm-1≠1，于是Mij∈A1，所以α1（G）=p2+p.

若G是（3）型群，经计算可得Z（G）=φ（G）=〈ap，bp，dp〉，由于d（G）=3，故G的极大子群为：M=〈φ（G），b，d〉，Mi=〈φ（G），abi，d〉和Mij=〈φ（G），adi，bdj〉，其中0≤i，j≤p-1.若M=〈φ（G），b，d〉，则由于[b，d]=1，φ（G）=Z（G），于是M∈A0;若Mi=〈φ（G），abi，d〉，则由于G是A2群且（j，p）=1，于是[abi，d]=b-jp≠1，于是Mi∈A1;若Mij=〈φ（G），adi，bdj〉，则由于G是A2群且[adi，bdj]=dpb-j2p≠1，于是Mij∈A1，所以α1（G）=p2+p.

若G是（4）型群，经计算可得Z（G）=φ（G）=〈ap，bp，dp〉，由于d（G）=3，于是G的极大子群为：M=〈φ（G），b，d〉，Mi=〈φ（G），abi，d〉和Mij=〈φ（G），adi，bdj〉 ，其中0≤i，j≤p-1.若M=〈φ（G），b，d〉，则由于[b，d]=1， φ（G）= Z（G），于是M∈A0;若Mi=〈φ（G），abi，d〉，则由于G是A2群且[abi，d]=b-jpdp≠1，于是Mi∈A1;若Mij=〈φ（G），adi，bdj〉，则由于G是A2群且（j，p）=1，于是[adi，bdj]=d（1-j）pb-j2p≠1，于是Mij∈A1，所以α1（G）=p2+p.

综上所述，若G是A2群，d（G）=3.若G′≌C2p，则α1（G）=p2+p.

定理2  設G是A2群且d（G）=3.若G′≌C3p，则α1（G）=p2+p+1.

证明  由假设条件可知，G是引理中（5）型群.经计算可得Z（G）=φ（G）=〈a2，b2，d2〉，由于d（G）=3，于是G的极大子群为：M=〈φ（G），b，d〉，Mi=〈φ（G），abi，d〉，和Mij=〈φ（G），adi，bdj〉.其中i，j=0，1.若M=〈φ（G），b，d〉，则由于G是A2群且[d，b]=a2b2≠1，于是M∈A1;若Mi=〈φ（G），abi，d〉，则由于G是A2群且[abi，d]=a2ib2（1+i）d2≠1，于是Mi∈A1;若Mij=〈φ（G），adi，bdj〉，则由于G是A2群且[adi，bdj]=a2ib2（i+j）d2（1+j）≠1，于是Mij∈A1，所以α1（G）=7.

综上所述，若G是A2群，d（G）=3.若G′≌C3p，则α1（G）=p2+p+1.

【参考文献】

[1]胡瑞芳.含有两个内交换极大子群且无交换极大子群的有限p群[D].临汾：山西师范大学，2009.

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