挖掘条件 感受多解

张前 杨和奎

【摘要】 一题多解可以使学生从多角度、多途径地去分析问题，从而解决问题;灵活运用已有的知识技能，找出尽可能新颖、尽可能多的、尽可能好的解题方法，从而达到帮助学生总结解题规律，融会贯通所学知识，发展学生的逻辑思维能力和综合思考能力，最终解决问题.

【关键词】 分式求值;一题多解

例  已知 1 a - 1 b =3，求 5a+3ab-5b a-2ab-b 的值.

解法1  利用分式的基本性质

分析  认真审题，仔细分析，根据已知条件 1 a - 1 b =3得：a≠0且b≠0，可以考虑利用分式的基本性质，将待求式 5a+3ab-5b a-2ab-b 分子、分母同时除以ab，再用因式分解，从而出现“ 1 a - 1 b ”的形式.

解  由题意得：a≠0且b≠0.将待求式 5a+3ab-5b a-2ab-b 分子、分母同时除以ab得：

5a+3ab-5b a-2ab-b =  5a+3ab-5b ab   a-2ab-b ab

=  5 b +3- 5 a   1 b -2- 1 a  = -5  1 a - 1 b  +3 -  1 a - 1 b  -2 .

∵ 1 a - 1 b =3，

∴原式= -5×3+3 -5-2 = 12 7 .

解法2  利用整體带代入思想

分析  认真审题，仔细分析，根据已知条件 1 a - 1 b =3得：a≠0且b≠0，由 1 a - 1 b =3通过通分得： b-a ab =3，则b-a=3ab，而a-b与b-a互为相反数，可得：a-b=-3ab，再将待求式通过因式分解，从而出现“a-b”的形式，最后代入，得出待求式的值.

解  由题意得：a≠0且b≠0.

∵ 1 a - 1 b =3，

∴ b-a ab =3，

∴b-a=3ab，

∴a-b=-3ab，

∴ 5a+3ab-5b a-2ab-b

= 5（a-b）+3ab （a-b）-2ab

= 5×（-3ab）+3ab -3ab-2ab = 12 5 .

解法3  化归代入

分析  认真审题，仔细分析，将已知条件 1 a - 1 b =3进行通分、变形得到：a= b 3b+1 .再将待求式中的a全部换成 b 3b+1 ，从而待求式中就是全部含有字母b的式子，最后便于计算，得出所求的值.

解  由题意得：a≠0且b≠0.

∵ 1 a - 1 b =3，

∴ 1 a =3+ 1 b ，

∴a= b 3b+1 ，

= 5b+3b2-15b2-5b b-2b2-3b2-b = -12b2 -5b2 = 12 5 ，

= 5b+3b2-15b2-5b b-2b2-3b2-b = -12b2 -5b2 = 12 5 .

解法4  赋值法

分析  认真审题，仔细分析，此题的结果是一个定值，根据已知条件 1 a - 1 b =3的结构特征，可以令 1 a =4， 1 b =1，则a= 1 4 ，b=1.故可以采用赋值法对待求式进行求解.

解  由题意得：a≠0且b≠0.

令 1 a =4， 1 b =1，则a= 1 4 ，b=1.

∴ 5a+3ab-5b a-2ab-b

= 5× 1 4 +3× 1 4 ×1-5×1  1 4 -2× 1 4 ×1-1

= -3 - 5 4  = 12 5 .