考虑通胀指数债券的最优投资-闲暇与自愿退休选择

余 鹏,张繁红，费为银,恽 珍

(安徽工程大学 数理学院，安徽 芜湖 241000)

Merton[1]于1969年利用动态规划原理解决连续时间最优消费与组合投资问题,随后,一系列拓展模型不断完善现实框架.Bodie[2]等将代理人的劳动收入和闲暇纳入连续时间最优消费与组合投资模型中,其中代理人劳动供给是弹性的.Choi[3]等讨论了代理人最优自愿退休与消费决策问题,其中代理人可自由选择何时退休,而他选择工作即可获得劳动收入，同时伴有因劳动产生的效用损失.代理人一旦选择退休就避免了因劳动产生的效用损失，但同时也失去了劳动收入.在代理人劳动收入具有随机性的情况下,利用对偶方法,Barucci[4]等分析了最优消费、劳动供给和退休时机选择.退休选择权具有相机而择时,Lee[5]等研究了代理人的最优消费、投资组合和闲暇,其中代理人的效用由不变替代弹性效用(CES型)刻画.

伴随经济的发展,通货膨胀不可避免,适度的通胀可以促进经济快速发展,但通胀水平过高对经济的健康发展会起到阻碍作用,尤其通胀不确定性的加大往往会改变人们的预期，从而影响人们的消费投资行为.在通胀不确定下,Munk[6]等分析了代理人在现金账户、名义债券和股票上的最优动态资产配置问题,而Bensoussan[7]等研究了在物价水平完全可观察和不可观察下最优组合投资和消费.利用鞅方法,Kwak[8]等刻画了通胀对家庭最优消费、组合投资和人寿保险决策的影响.在通胀不确定下的最优消费和组合投资也为国内许多学者研究.例如，姚海祥[9]等研究了通货对投资终止时间不确定最优投资组合的影响.基于跳扩散环境,费为银[10]研究了通胀对投资者资产配置的影响．

基于上述分析可以发现,在代理人的消费-组合投资、闲暇与自愿退休选择框架下,应该考虑通胀不确定对代理人决策的影响.Koo[11]结合通胀因素分析了最优组合投资、消费、闲暇和自愿退休选择,利用动态规划原理建立了代理人值函数所满足的HJB方程,并给出了最优组合投资、消费、闲暇与自愿退休选择策略.陈雅豪[12]等研究了通胀不确定下最优消费-投资组合与自愿退休选择问题,其中效用仅仅来自代理人消费的效用,没有考虑代理人的闲暇对其效用的影响.文章在考虑代理人消费和闲暇两个变量给其带来效用(用Cobb-Douglas效用函数刻画)的前提下,研究了代理人的效用优化问题.其中投资机会集中不仅有无风险债券、风险股票,还有通胀指数债券.这使得模型的分析和结论更具有一般性,得到了更具现实经济意义的结论.由于引入闲暇，代理人的效用不同于传统仅依赖于消费一个变量，而是依赖消费和闲暇两个变量，用Cobb-Douglas效用函数刻画，由此带来的分析发生了本质的改变；由于通货膨胀的引入，使得最优策略的分析不同于现有文献的工作，为得出结论需要随机分析技术，方法上有一定的创新；正因为考虑代理人的闲暇、消费-投资组合和退休选择与宏观经济变量通胀的紧密联系使得研究问题更切合实际，具有较高的应用价值.

1 基本模型

假设金融市场所有随机过程关于完备带流概率空间(Ω,F,{Ft}t≥0,P)都是适应的，W(t)和Z(t)是其上的Brown运动.用居民消费价格指数(CPI)度量通胀水平P(t),其服从随机微分方程

式中，μp是预期通胀率;σp>0是通胀波动率．

经济代理人在三种资产上投资,一种是名义利率为R的无风险资产或银行账户,另一种可投资的是预期收益率为μs和波动率为μs>0的风险股票,还有一种是实际利率为r的通胀指数债券.用下列随机微分方程分别描述无风险债券名义价格BN(t),股票名义价格SN(t)以及通胀指数债券名义价格IN(t)

于是代理人名义财富过程XN(t)满足

(1)

2 代理人效用优化

代理人最大化期望贴现消费和闲暇累计效用的值函数为

(2)

其中,主观贴现率β>0,A(x)表示所有允许策略(c,l,π,τ)之集并满足

其中,u-:=max(-u,0).代理人既要消费又要闲暇,两者的效用可以用如下Cobb-Douglas效用函数刻画

且γ≠1,

(3)

假设1 下列变量满足

在式(2)中,代理人退休后的值函数U(·)与经典Merton问题类似,退休后的值函数

(4)

假设k+>0和k-<-1是式(5)方程的两个根

(5)

定理1 在上述假设下，最优消费、闲暇、组合投资和自愿退休选择为

ξ和ζ是下列代数方程的解：

证明 当0≤t<τ,0≤l

根据一阶条件,可得(c,l,π0,π1,π2)关于V(x)的表达式,再代入上述方程整理得值函数如下

当0≤t<τ,l=L时,优化问题的值函数满足下列HJB方程

由一阶条件,经整理可得值函数

3 数值模拟和经济学解释

利用MATLAB数值模拟直观分析通胀不确定性对最优消费与组合投资的影响.

图1中每个图都由三条线组成.其他参数不变,仅改变代理人相对风险厌恶系数,观察通胀不确定性对最优股票投资的影响.由图1可知,对风险厌恶越高,代理人的投资意愿越低．

图1 通胀波动率σp对最优投资π2的影响

图2 通胀波动率σp对消费水平Ct的影响

4 小结

通货膨胀成为经济活动过程中不可忽视的因素.经济代理人的财富往往因通胀而贬值，基于通胀不确定风险，代理人如何做出最优的决策是需要研究的基本问题.假设代理人考虑消费-投资、闲暇和退休选择，代理人的闲暇虽然会给代理人带来效用，但由于劳动时间的减少而工资收入降低，从而减少了代理人的财富；另一方面，代理人可以选择提前退休以便享受更多的闲暇，但提前退休也会减少代理人的财富积累，所以需要在消费、闲暇与劳动时间之间进行权衡，从而达到消费、闲暇的生命周期内预期累积效用最大化.为了解决优化问题，利用随机分析和随机控制方法解决代理人的消费-投资、闲暇与退休选择问题，得出代理人的最优决策.将代理人生命周期分为低闲暇、高闲暇和退休后三个阶段，通过求解方程,获得关于消费、闲暇、投资和退休的最优决策.通过数值模拟发现，随着代理人财富的增加,其消费和投资也会一定程度地增加.面对变化的通胀波动率时,代理人为了减小风险、增加收益,在不同的阶段会选择不同的最优投资-消费、闲暇策略.所得结论可以给代理人在金融市场的投资-消费、闲暇和退休选择决策提供一定的理论指导．