巧用三角形剖析双曲线的几何性质

杨昊

摘 要：数学学习的精髓在于对各个知识点的深入理解和运用，在双曲线的学习过程中，通过构建三角形可以更加直观地加深对双曲线性质的印象和了解。

关键词：三角形 双曲线 三角函数 斜率 离心率

中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2019）02-0-01

高中数学的奥妙在于将各个模块的思想相互结合。例如将几何与函数进行结合，通过特定图形的性质辅助可以加深我们对某些函数性质的理解，还可以增加一些解题小技巧。通过日常的学习和思考，我整理了三角形和双曲线几何性质的一些联系，具体结果如下。

已知双曲线焦点在x轴上时的标准方程式为 - =1，其轴长2a、虚轴长2b和焦距长2c的数量关系为a2+b2=c2。这个关系式让人立刻联想到在直角三角形中两个直角边的平方的和等于斜边长的平方。同时双曲线的渐近线表达式为 ，联想到在直角三角形中直角边与另一条直角边的比值，即 的值（ 角为直角三角形中的一个锐角）；同理双曲线的离心率[1] 且 ，也可联想到在直角三角形中斜边长与某一条直角边的比值，即直角三角形中某个锐角的正弦值或余弦值。由此可见利用三角形来分析双曲线的几何性质是可行的。

一、双曲线焦点在x轴上

1.构建三角形

将双曲线标准方程 - =1的图像作出，如图1所示，其中点B为实轴的顶点，在y轴取线段OA使|OA|=b，过点A作平行于x轴的平行线与过B点作平行于y轴的平行线相交于点C。其中点A（0，b）、点B（a，0）、点C（a，b）。显然△OBC为直角三角形，Rt△OBC即为所构建的三角形，满足a2+b2=c2。已知双曲线中的实半轴长的平方与虚半轴长的平方相加等于半焦距长的平方，故构建三角形中斜边长就等于双曲线的半焦距长。

2.在构建三角形中 的值与双曲线渐近线的关系

如图1所示，三角形斜边OC在直线y= 上，已知y= 为双曲线的一条渐近线，即构建三角形中 的值为一条渐近线的斜率。

应用举例：双曲线 的渐近线方程为（ ）

A. = B. =

C. = D. =

解析：将双曲线方程式标准化可得 ， ， ，斜率k= 。

推论：双曲线渐近线斜率的值也是就构建三角形中 的值，当 的值为特定值时，例如 =1时，构建三角形为等腰直角三角形，此时双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为45°；当 = 时，构建三角形中 =30°，渐近线与x轴的夹角变小，明显可得到双曲线的开口相较于 =1时狭窄。

3.在构建三角形中 的值与双曲线离心率的关系

已知双曲线的离心率 = ，同样在构建三角形中又有a2+b2=c2，那么整理即可得到 = = = 。由上一条研究可得出 的值与双曲线的开口程度有关，故而也可得出离心率e与双曲线开口程度的关系，即双曲线的开口程度随着离心率e的增加而变得更加开阔。

二、双曲线焦点在y轴上

上面对焦点在x轴上的双曲线进行了大致研究，下面我们再来看焦点在y轴上的双曲线是否也可以通过构建三角形进行研究。

1.构建三角形

焦点在y轴的双曲线标准方程式为 - =1，如图2所示，在x轴上取|OB|=b，过点B作平行于y轴的平行线与过实轴顶点A作平行于x轴的平行线相交于点C，其中Rt△OAC为所构建的三角形。同时已知 和 互余，便可据此搭建三角形与双曲线的桥梁。

2.构建三角形与双曲线渐近线和离心率的关系

由上文的推理可得双曲线的渐近线斜率为 的值，又可知 = ，故焦點在x轴或y轴的双曲线渐近线斜率的区别只在于a与b的确定和位置。

离心率e= ，放入构建直角三角形中可得 ，故离心率e= 。发现离心率与渐近线斜率都可用 角的三角函数表示，此时就需要对此进行代换整理，得出离心率[2] ，斜率 。

在实际运用中就可以使用这一结论，例如题目中给出双曲线离心率的数值，让求其渐近线的方程时就可以迅速得出答案。在某些题目中仅仅给出双曲线离心率时也可将其换算进而得出渐近线的斜率，可作为隐藏条件使用。

三、共轭双曲线渐近线斜率和离心率的关系

当双曲线s： - =1的实轴（虚轴）是双曲线 ： - =1的虚轴（实轴）时，称其为共轭双曲线，此时的渐近线斜率和离心率的关系也可用构建三角形进行解释说明。

共轭双曲线中，双曲线s与双曲线 的渐近线相同[3]，即双曲线s渐近线的斜率k与双曲线 渐近线的斜率 的值相等。从以上的研究可得出，当双曲线的焦点在x轴时，其斜率为构建三角形中 的值，即 ；当双曲线的焦点在y轴时，其斜率 = ， ，整理可得 。

经过构建三角形，可以对共轭双曲线的性质有更加清晰的认识。

高中数学学习的关键在于将基础知识牢固掌握后进行流畅的运用，其中数学思想和数学方法至关重要。本文仅对双曲线的部分性质进行了浅显的讨论，不足之处还有很多，望各位老师和同学们予以批评指导。

参考文献

[1]陈广田，王玉贵.关于椭圆，双曲线及抛物线离心率的几何性质[J].数学通报，1999（6）：27-28.

[2]管广春.精彩纷呈的双曲线离心率计算公式[J].数学之友，2012（12）期：68-69.

[3]孙卫星.有共同渐近线的双曲线的求法剖析[J].现代商贸工业，2009（3）：213-214.