二次函数在实际生活中的应用

摘 要：二次函数是数学教学中最重要的概念之一，它连接着初中、高中、大学这一条主线。利用二次函数解决实际生活中的问题时，可以运用数形结合思想、方程思想等对问题进行简单化处理，将抽象问题具体化、形象化，在解答问题的时候更加得心应手。不仅提高了学生分析问题、解决问题的能力，而且将函数思想与现实生活紧密地联系在一起，使学生对函数的学习更加感兴趣。

关键词：二次函数；应用；数形结合

引言

本文运用了数形结合等数学思想将二次函数问题与现实问题有效的结合起来，研究问题新颖、有特点，不仅提高了他们的学习兴趣，而且加强了学生分析和解决问题的能力。使二次函数思想与现实生活紧密的结合在一起，而不是空谈理论。

一、 二次函数在桥梁建筑中的应用

在我们在旅游的过程中，经常会见到一些石拱桥，这些桥的建造体现了古代人的智慧。石桥的斗拱大多数都运用了抛物线的形状，其自然而然会用到有关二次函数的知识。如下例：

赵州桥的桥拱呈抛物线型，正常水位时拱桥下面水宽8米，水面到拱顶的距离为4米。

（1）如图，求该图形的函数解析式。

（2）在水深为1米时，此刻水位处于正常水位。现要求轮船通过时，与桥身无任何接触。桥下水面的宽度不能宽于6米，求水深到达多少米时会影响轮船正常航行？

解：（1）设该抛物线的函数解析式为y=ax2，将A（-4，-4），C（4，-4）代进y=ax2中，解得

a=-14，则该函数解析式为y=-14x2

（2）设水深到达h米时会影响轮船正常航行

当x=3时，有y=-2.25，则h=4+1-2.25=2.75（米），所以水深到达2.75米的时候就会影响船只正常航行。

二、 二次函数在销售定价中的应用

在产品销售过程中产品单价影响产品销量，从而影响着销售利润。要想获得最大利润，我们就必须要探索和解决产品的销售定价和销售量、成本等不同因素之间的关系。因此，我们需要运用二次函数的相关知识来解决此类问题。如下：

某商场销售皮裤，每条皮裤的成本是50元。在试销阶段，经市场调查发现，当皮裤单价为70元时，每日的销售量是300条；如果每条皮裤价格提高1元，则每日少出售10条皮裤。

（1）一天内，每条皮裤卖x（元），皮裤所得收益为y（元），求它们之间的函数关系式；

（2）要求皮裤每日的收益达到顶峰，求皮裤的销售单价、最大利润；

（3）每条皮裤收益不超过50元，每天的总成本不高于2000元。满足以上两个条件，求销售该皮裤每天所获得的最大利润。

解：（1）y=（x-50）[300-10（x-70）]

=（x-50）（1000-10x）

=-10x2+1500x-50000

答：該函数的关系式为：y=-10x2+1500x-50000

（2）y=-10x2+1500x-50000

因为a=-10<0，所以抛物线开口向下，函数取得最大值

当x=75时，y最大=6250

答：皮裤的销售单价是75元，最大利润是6250元。

（3）因为该皮裤每天的总成本不高于2000元

所以50[300-10（x-70）]≤2000，解得x≥96

又因为每件的销售价格不能高于100元，则96≤x≤100

因为对称轴x=75，所以当x=96时，y有最大值，y最大=1840。

答：销售该皮裤每天所获得的最大利润为1840元。

三、 二次函数在物理学中的应用

二次函数在物理运动学中有很多应用。比如自由落体、位移、直线加速运动、动能等。有时它虽不如物理方法来得简单直观，但一些对物理情景较难想象的同学利用二次函数解决问题未尝不是一种有效的解决方法。例如：

将一个球以一定角度斜抛，它的运动轨迹呈抛物线。如图，当球的水平分位移为20米时。此时，球达到最高，高度为10米。求：

（1）球运动路线的函数关系式和自变量的取值范围；

（2）当球距离地面为6米时，球离抛物线的水平距离为多少？

解：（1）设函数的解析式为y=a（x-b）2+c（a≠0）

由题意得：b=20，c=10，则y=a（x-20）2+10

将（0，0）点代入上式，得：0=400a+10，解得a=-140

答：球运动路线的函数关系式为y=-140（x-20）2+10（0≤x≤40）

（2）当y=6时，得：-140（x-20）2+10=6，解得x1=20+410，x2=20-410

答：当球距离地面为6米时，球离抛物线的水平距离为x1=20+410米或x2=20-410米。

结语

在生活中，我们经常会遇到与二次函数有关的实际问题，想要利用二次函数去解决这些问题，关键法宝就是要熟练掌握二次函数的基本性质和特点，例如，掌握好二次函数中如何求最大值，最小值，可以帮助我们解决生活中关于求最优、最省的实际问题，而二次函数中定义域，值域等性质可以帮助我们确定问题中数据的取值范围，让我们能够更精准地求解出问题的答案。二次函数的图像特点，可以把实际问题的数量关系通过图像的方式更直观地呈现出来，数形结合，让我们可以更清楚地看到数量之间的关系，从而帮助我们更快速，更准确地求解出问题的答案。本研究主要采用的是变量学说，主要运用的数学思想是数形结合思想。相比于方程思想，数形结合思想应用更广泛，研究的问题比较新颖，可以把抽象的函数问题具体化、形象化，将函数思想真正的运用到实际生活中去。学生在解答此类函数问题的时候更加运用自如。不仅仅提高了学生分析问题、解决问题的能力，而且让学生对函数的学习更加感兴趣。

作者简介：周晓凤，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院。