库的量子关联相干辅助系统能量提取的研究*

李海 邹健 邵彬 陈雨 华臻

1）(山东工商学院信息与电子工程学院,烟台 264000)

2）(北京理工大学物理学院,北京 100084）

3）(中国科学院理论物理研究所,北京 100190)

4）(贵州师范学院物理与电子科学学院,贵阳 550018）

基于单模微腔与二能级原子系综(库)构成的混合动力学模型,探索了非平衡库中量子关联相干(quantum correlated coherence,QCC)[Tan K C,et al.2016Phys.Rev.A94,022329])对系统动力学的影响.推导了量子关联相干库下系统演化的动力学方程.借助于含QCC的类GHZ库及其对应的参考库,清晰地揭示了非平衡库中QCC扮演着热力学资源的角色——能够有效辅助系统从库中提取更多能量.同时,结合解析与数值模拟方法研究了类GHZ库的有效温度和系统与库间的耦合参数对QCC能量效应的影响.研究发现,QCC对腔场的能量贡献不仅依赖于库的有效温度,而且也和系统与库间的耦合参数有关.这与二能级原子构成的传统的热库的情况(腔场从热库中提取的能量仅仅依赖于库的有效温度即二能级原子的热布局)完全不同.此外,研究发现QCC可视作一类优质的热力学资源,在特定条件下其对系统的能量贡献远大于原子热布局的贡献.因此,QCC将是高输出功率或高效率量子热机设计中的一类重要燃料.

1 引 言

量子信息科学的快速发展使人们对量子资源,如非定域性、纠缠和量子相干等的物理特性有了更加深入的认识[1].借助于这些量子资源,科学家们可以实现经典物理中不可能完成的一些任务[2].随着激光技术以及微纳米制造工艺的不断提高,人们正朝着操控越来越小器件的方向发展.同时,这也进一步促进众多研究者对微小器件中出现的量子效应的关注.尤其是量子相干,其作为核心的物理资源已参与到大多数量子现象之中并得以应用[3].近期,德国物理学家Plenio课题组[4]首次给出了量子相干度量的简洁的数学描述.这一突破性研究激发了众多学者对量子相干在量子信息中作为资源的相关理论的进一步探索[5−20].例如,关于量子关联和量子相干之间的联系方面,Streltsov课题组[14]和Yao等[15]的研究表明:量子相干能够产生量子纠缠并可以被视作量子纠缠的源;韩国科学家Tan等[16]提出:量子纠缠可以被认为是一种特殊的量子相干.这种量子相干被称为量子关联相干(quantum correlated coherence,QCC),QCC 指的是多体系统的各个子系统之间的量子纠缠或相干.最近,Wang等[17]给出了基于熵的QCC的度量方案,并验证了量子失谐(discord)和量子纠缠能够用QCC有效刻画.

另一方面,量子相干的热力学特性近年来也引起了广大学者的兴趣[21−43].他们在多种量子系统和模型中对量子相干的热力学特性进行了探索,包括:量子光学系统如微腔[21−26]、离子陷阱[27]、光学晶格[28]、光力学系统[29,30]和生物系统[31,32]等.从研究角度上看,量子效应的热力学探索包括两类:一类是研究热循环中系统或量子工质携带的量子效应的热力学特性[19,37,44−58];另一类则考察量子非平衡库中量子效应的热力学特性,如库中的热纠缠[59]、量子相干[22−26]和量子压缩[60−63].特别地,在量子光学实验中微腔是为数不多的可以被有效操控的微纳器件,它为非平衡库中量子相干的热力学效应研究提供了重要的平台.2003年,物理学家Scully等[22]借助于微腔系统开创性地研究了非平衡相干库中三能级原子内近简并能级间相干的热力学效应.他们揭示了库中原子的量子相干能够有效促进微腔系统能量的提取并实现高输出功率的光子卡诺热机.受此工作启发,学者们基于微腔系统对量子相干热力学特性开展了一系列有趣的研究工作.比如:2012年Liao等[23]利用大量彼此独立且携带量子相干的二能级原子检验了原子相干在腔场热化中的作用;Türkpençe等[24]探索了多能级相干系统组成的非平衡库对实现高输出功率的量子热机的意义;Dillenschneider等[59]研究了构成库的原子对中的热纠缠和量子失谐的能量效应;近期,文献[25]讨论了处于一般X型态下原子对的量子相干和量子关联对微腔系统做功能力的影响,揭示了影响系统做功能力的较为本质的热力学源是量子相干而非量子关联.这些研究使人们对非平衡库中量子相干或关联的热力学特性有了更加深入的认识.

然而,我们注意到:在前面提到的研究中非平衡库都是由独立的粒子单元构成(粒子单元指的是每次穿过腔场的单个原子或原子团),库中的相干或关联仅仅包含于每个粒子单元之中.为便于描述,我们称前面这类非平衡库为“局域相干库”.在局域相干库下,由于各粒子单元彼此独立,腔场在任意时刻的动力学演化仅与进入腔场的粒子单元有关,与腔外的粒子单元无关.这里,一个自然且有趣的问题是:当考虑构成库的所有粒子单元之间存在量子关联相干(QCC)时(我们称这类库为“量子关联相干库”或“QCC库”.此库下每次进入腔场的单个粒子单元将携带腔外其他粒子单元的信息,腔场任意时刻的演化不仅与进入腔场的粒子单元有关,也与腔外其他粒子单元有关),与局域库相比系统从库中提取的能量将会有何变化?QCC是否也能扮演热力学资源的角色辅助系统提取较多能量?这是本文所关心的核心问题.

为了有效研究QCC的热力学效应,本文基于微腔系统分别讨论了由大量彼此关联的二能级原子构成的QCC库和独立原子构成的局域库下腔场的动力学过程(如图1所示).为研究方便,文中考虑了单个二能级原子为粒子单元顺次穿腔的情形.借助于具体的库态—类GHZ态(携带QCC)和其对应的参考态(不含QCC),我们清楚地展示了:腔场从类GHZ库态中提取的能量总大于其从相应参考态的库中获得的能量,并表明QCC与局域相干[22−26](单个粒子单元中携带的相干)类似,能够扮演热力学资源的角色以提高系统的能量.同时,我们也讨论了库的有效温度以及系统与库间的耦合参数对QCC的能量效应的影响,并揭示了QCC对腔场的能量贡献不仅依赖于库的有效温度而且与系统和库间的耦合参数有关.特别是在弱耦合条件下,类GHZ库中的QCC对腔场的能量贡献远大于库中原子热布局对腔场的能量贡献.因此,在特定条件下QCC可视为一种优质的热力学资源.

图1 单模微腔与一系列二能级原子组成的原子库相互作用示意图 (a)处于QCC库中的二能级原子顺次穿过微腔;(b)库中无QCC情况下,二能级原子顺次穿过微腔Fig.1.Schematic diagram of a single-mode microcavity interacting with a TLA-bath consisting of a series of twolevel atoms:(a) The atoms of bath with QCC passing through the cavity one by one;(b) the atoms of bath without QCC crossing the cavity.

本文主要研究内容如下:第2节简单回顾了单模微腔系统与一系列随机穿过腔场的二能级原子相互作用的动力学模型;第3节首先介绍了QCC的特性,然后构造了一类拥有QCC的库态—类GHZ态及其相应的参考态;第4节给出了非平衡库下腔场演化的动力学方程;基于系统的动力学方程，我们对类GHZ态中QCC的能量效应进行了研究,并分析了库的有效温度以及系统与库间的耦合参数对QCC的能量效应的影响;第5节对全文进行了总结.

2 腔量子电动力学 (QED)模型

这里,我们考虑由大量完全相同的二能级原子构成的非平衡库与一单模腔场相互作用QED模型[64−68](如图1所示).假设库中原子间无任何相互作用,并让原子一个接一个随机地注入腔场.当考虑任意时刻腔内至多保留一个原子,且原子与腔场发生共振耦合即Jaynes-Cummings(JC)耦合时,系统哈密顿可表示为

3 非平衡 QCC 库

3.1 量子局域相干与QCC

对于一个多粒子系统而言,根据量子相干在其中存储形式的不同,系统的态可划分为两种:局域相干的态和QCC态.这里,局域相干指的是体系中各个子系统之间相互独立即彼此间无任何的关联存在,且相干仅仅出现于各个子系统之内;而QCC则是指出现在各个子系统之间的量子关联或相干[16].为了清晰地对比两类态的特征,下面给出任意体量子系统的局域相干的态和QCC态,分别记为和,的一般表达形式.根据局域相干的态的特征,可形式地表示为

3.2 类GHZ态和参考态

为了便于分析QCC的热力学效应,我们构造一类非平衡QCC库态—类GHZ态及其对应的参考态进行研究.在二能级原子本征基矢构造的非正交基下,类GHZ库态表示为

根据Wootter关于两体纠缠的定义[70],原子A和B间的纠缠度可以表示为

从方程(13）可以看出:对于一个确定大小的类GHZ库或参考库(库尺寸固定),其有效温度仅与参数有关.因此,我们将称之为温度参数.当库尺寸非常大即时,方程(13）可进一步简化为

4 非平衡库下的腔场动力学

4.1 局域相干库下腔场演化

这里,我们将考虑腔场处于N个独立的二能级原子构成的局域相干库下的腔场演化.记为库的密度矩阵并表示为:

上式给出了腔场演化的递归形式.根据方程(17）,只要给出腔场的初始态,便可求得任意第个原子穿过腔后腔场的密度矩阵.这里,假设原子随机穿过腔场,且每次最多只有一个粒子以概率进入腔场(原子未进入腔的概率为).当考虑原子每次穿过腔的时间极短即时,腔场的主方程可表示为

4.2 QCC库下腔场演化

4.3 类GHZ库态下QCC的能量效应

这里,我们将基于类GHZ库态来展示QCC的能量效应,并讨论耦合参数以及库的有效温度参数对腔场从QCC中提取能量的影响.为简便起 见 ,记和为 库 中个 二 能 级 原子(,为库尺寸即库中的总的原子数)穿过腔后腔场的能量以及腔场达到稳态时的能量.假设腔场的初始态为真空态.在弱耦合极限下,根据腔场演化主方程(18）和(23）可以分别求得参考库态和类GHZ库态下腔场达到稳态时的能量:

图2 腔场在不同耦合参数 (蓝色点线),(红色点线)和 (黑色点线)下,从不同库态中提取的能量随穿腔原子数( )的变化(a)腔场从类GHZ态下QCC中提取能量 随 的变化;(b)腔场从参考态(热态)下原子布局中提取的能量 的变化;其他参数取为 ,103;内插图为 在区间 的图形Fig.2.The variations of cavity's energy, and,respectively captured from the QCC of GHZ-like state in (a)and the thermal distribution of reference state (thermal state) in (b) with the number of TLAs crossing the cavity ( ),withand for (blue dots), (red dots)and (black dots).In the inset .

图3 腔场在不同有效温度参数 (蓝色点线),(红色点线)和 (黑色点线)下,从不同库态中提取的能量随穿腔原子数 ( )的变化(a)腔场从类GHZ态下QCC中提取能量 随的变化;(b)腔场从参考态(热态)下原子布局中提取的能量 随 的变化;其他参数取为 ξ =0.3, =200 Fig.3.The variations of cavity's energy, and , respectively captured from the QCC of -like state in (a) and the thermal distribution of reference state (thermal state)in (b)with the number of TLAs crossing the cavity ( )and ξ = 0.3 and for (blue dots), (red dots)and (black dots).

5 结 论

本文基于原子穿腔模型研究了非平衡库中QCC的热力学特性,给出了一般量子关联相干库下系统演化的动力学方程.借助于类GHZ态及其相应的参考态清晰地展示了非平衡库中QCC的能量效应,即库中QCC能够有效地辅助微腔系统获取更多的能量.我们所揭示的QCC的这一热力学特征与近期Francica等[46]的研究结果是一致的(文献[46]展示了两体间纠缠能够辅助系统从中提取更多的功,而我们则展示了多体中的QCC可辅助系统获取更多的能量).多体系统QCC所展现的这一热力学特性具有潜在的应用价值.如将传统的热库替换为相应的非平衡QCC库,来设计高输出功率或高效率的光量子热机[22,26,59,61].这可以看作是QCC作为热力学资源的一个直接应用.再如,随着激光技术以及微纳加工工艺的不断提高,近年来量子电池[71−74](quantum battery)的设计和制造引起了科学家们极大兴趣.最近的研究表明:量子关联在提高电池充电速度以及电池能量存储方面扮演了重要的角色[75−76].因此,多体系统中QCC也可视为提高量子电池性能特性的重要资源.此外,本文也讨论了库的有效温度和耦合参数对QCC能量效应以及系统动力学的影响.揭示了一些有趣的现象:1）库的有效温度越高QCC对腔场的能量贡献越大,这与传统热库下的情况(腔场从热库中可提取的能量与热库温度成正比)一致;2）QCC对腔场的能量贡献与耦合参数有关,且耦合参数越小腔场从QCC中可提取的能量(腔场达到稳态时的能量)越大,这一特征完全不同于传统热库下的情况—腔场从传统热库中可提取的能量独立于耦合参数,且仅与库的温度有关;3）腔场能量的高低与其提取能量的能力存在竞争关系—随着腔场能量的增加,其从相同原子中可提取的能量逐渐减少;4）非平衡原子库中QCC对系统能量的贡献优于原子热布局的贡献,特别是在较小的耦合参数下QCC的优势更加明显.这展示了QCC可视作一类优质热力学资源的特性.本研究工作进一步促进了我们对量子相干热力学特性的理解与认识.未来如何结合信息几何[77]理论来挖掘多体量子关联和相干中更加丰富、深刻的热力学特性是非常有趣并值得研究的课题.

感谢北京理工大学物理学院魏永波博士以及郭丽莎博士的讨论.