“一笔画”问题教学的几点思考

韦忻芳

[摘 要]研究数学问题离不开自主探究，过去采用的“满堂灌”要不得，只有学生通过自主探究和思索得出的成果才是经得起时间检验的。自主探究绝不代表教师可以在抛出模糊的问题后，放任学生毫无头绪地碰运气，而是要做到严密地引导和规范学生的探究行为。

[关键词]一笔画;失败;基础;扎牢;逐步

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）05-0057-02

“一笔画”问题教学的一开始，教师就以“七桥问题”作为导入，旨在用这一精彩故事激发学生兴趣，然后推出“一笔画”的概念。在学生搞清楚“一笔画”就是将一个图形从某起点开始沿着一条不间断、不重复的线路勾画完所有线路时，教师开始逐步深入，让学生观察研究“一笔画”图形的特征。教师展示一组图形，让学生研判哪些可以“一笔画”，让学生意识到“不连通的图形无法一线连”。在此基础上，教师顺势提出奇点和偶点的概念：各线路交汇相接形成回路的图形称为连通图，连通图的基本结构是点和线，奇数条线交汇的聚点称为奇点，偶数条线交汇的聚点称为偶点。任何连通图都是由点和线组成的，所有交汇的聚点不是奇点就是偶点。用下标“2”标注偶点，用下标“1”标注奇点，如图1。

这堂课到此似乎已经交代清楚了，实际上，学生还是很迷茫。笔者认为该教师忽略了以下三个方面。

一、没有为学生的探究做准备

教师提醒学生，研究连通图首先要判别奇点和偶点。认识奇点和偶点的概念后，问题似乎便可以迎刃而解了，但是风平浪静的讲授背后，却隐藏着妨碍自主探究的“暗礁”。从字面上看，奇点和偶点的定义浅显易懂，但是在实践中，学生却很难辨别交汇点处线条的数量。

师：我们已经知道了什么是连通图，也知道判断能否“一笔画”的重要前提是看一个图形是否连通，那么是不是所有连通图都能“一笔画”？

这时，学生出现严重的意见分歧。教师郑重指出，连通图可能“一笔画”，也可能需要“多笔画”，然后请学生尝试一笔画完例图，并用箭头标明行笔方向。学生通过试验，发现并非所有连通图都能“一笔画”。课堂正式进入主题，研究“一笔画”图形的特征。教师让学生分组合作探究研讨，要求：先标出奇偶点，然后统计数据并填表，最后回答四个提示问题，总结规律。学生在统计奇点与偶点数量时，对奇点、偶点的判别出现严重失误，教师不得不回头，补叙奇点与偶点的判定原则。

如图2是相互穿插，算作4条线交会;如图3是截断式相交，算作3条线交会。对于图3的情况，学生会误认为只有2条线交会，于是本应划定为奇点的聚点，被误判为偶点，对判定能否“一笔画”提供了错误的信息。

教师播放动画，让学生暂停下来弄清线条该如何计数后，再继续前行。十多分钟后，组织学生交流。但是四个提示问题，大部分学生只答对了第一个。课后，回头再看“七桥问题”时，学生依然浑浑噩噩，不知从何下手。即便教师将实物图转换为几何图，奇点和偶点数已经一目了然，学生仍是束手无措。

二、没有扎牢学生知识基础

这一堂思维训练课对于四年级学生来说颇有难度，但是学生的自主探究之所以半途而废，不能简单归咎于问题难，还应客观判断，教师并未对自主探究扫清障碍，铺平道路，这才导致了学生自主探究时“打乱仗”。

有效的探究应该建立在学生牢固的知识基础上。这节课之所以混乱，其中一个很大的原因就是教师在自主探究之前没有让学生扎稳根基、打好底子，导致学生探究时知识储备捉襟见肘。在学生在懂得不连通的图形不能“一笔画”之后，教师马上话锋一转，跳到奇点与偶点的判别上，显得非常突兀。这两个概念并不难理解，可是实践时却容易碰壁——对交叉线不会判断，为何会这样？是因为教师对学生接受奇点和偶点的能力盲目乐观，没有进行强化训练，就让学生在基础不牢的情况下，提前开启了“一笔画”图形的特征研究。奇偶点虽不是本章的重点，但作为判断“一笔画”的重要理论依据，必须让学生在自主探究“一笔画”图形的特征之前就牢牢掌握。

三、没有做到分步推进、逐步实施

教师出示的10个图形（如图4）难度参差不齐，且排列杂乱。有些图形难度很大，如编号（3）和编号（9）的图形，学生在短时间内无法清晰判断，自主探究时难免裹足不前。

教师在组织学生自主探究时，用表格和问题进行引导。

能“一笔画”的图形

研究问题：

1.能“一笔画”的图形首先必须是（ ）图。

2.能“一笔画”的图形中的奇点数量必须满足（ ）或（ ）。

3.如果一个图形只有两个奇点，那么勾画线条时必须从一个（ ）起笔至另一个（ ）收笔。

4.如果一个图形没有奇点，全是偶点，“一笔画”行笔时就可以从任意一个偶点开始至（ ）收筆。

从表面上看，用表格和研究问题步步诱导，好像是给学生指明方向，事实上，将图形、表格和问题一股脑儿呈现，学生思维一下子超负荷，就会思路拥堵，造成“一笔画图形的特征不是学生悟出的，而是教师转告的”严重后果。

要想让探究活动行之有效，落到实处，教师就要充分考虑四年级学生的认知水平，科学规划好实施步骤：第一步，判别奇点与偶点，并一一注明;第二步，通过试验，确定哪些图形可以“一笔画”;第三步，将能“一笔画”的图形和不能“一笔画”的图形分成两类，统计它们的奇点数和偶点数，列表;第四步，观察表格数据，探寻规律;第五步，研究“一笔画”的行笔路线。

在数学探究活动中，教师不仅要让学生参与其中，还要陪着学生一起探究，否则放任学生自由探究，只会让学生走入迷途。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 李彩娟，余秀萍.“一笔画”问题的数学模型及解法[J].河北建筑工程学院学报，2001（02）.

[2] 薛锦芳，徐道.一个有趣的“一笔画”问题[J].安顺师专学报，1999（04）.

（责编 李琪琦）