画图：解决应用题“思”与“行”的桥梁

刘绪毅

[摘 要]画图法作为解决应用题的一种基本辅助方法，通过化抽象为直观、化复杂为简单，架构起了学生分析与解答抽象数学问题的桥梁。在教学中，教师应该将画图作为学生解决问题的一种习惯来渗透，一种能力来培养，从培养画图意识、提高识图能力和运用画图策略三方面来提高学生解决应用题的能力。

[关键词]解决问题;画图法;小学数学

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）05-0017-02

小学数学中，应用题的教学是一个重点，同时也是一个难点。现行人教版教材中，对解决问题教学的编排分为阅读与理解、分析与解答、回顾与反思三个环节。纵观小学数学教材，分析与解答环节通常离不开画图方法的提示与引导，从一、二年级的实物图、示意图到中高年级的线段图，层层深入，逐步渗透。可以说，画图作为解决问题的一种基本辅助方法，它能化抽象为直观、化复杂为简单，架构起了学生分析与解答抽象的数学问题的桥梁。因此，无论是从教材的编排意图来看，还是基于小学生的思维特征，教师都应该将画图作为学生解决问题的一种能力来培养。

一、遇题想画——培養画图意识是关键

学生画图的能力不是一蹴而就的，教师需要从一年级开始逐步渗透。在解决数学问题过程中培养学生的画图意识是关键，具体做法如下：

一是鼓励学生试画。一年级的学生最喜欢涂涂画画，教师要充分利用学生的年龄特点，引导他们将这样的兴趣爱好迁移到数学学习上。解决问题的教学中，在学生充分阅读题目的基础上，鼓励学生将数学信息和问题用自己喜欢的方式画出来。通过自主尝试和教师的引导，学生经历从细致的情景实物图到具有数学味的简化示意图的一次次提升，学生的画图意识在潜移默化中逐步得到了培养。这样日积月累地训练，画图就能成为学生解决问题的一种自觉的行为。

二是注重教师示范画。教师要抓住每一次解决问题的新课学习、专题练习、习题评讲的机会，坚持示范画图，让学生在烦琐的文字转化为数学图形的过程中感受数学的简洁美，体会到数学的魅力。当然，这也要求教师要对每册教材中能用画图法解决的数学问题有思考、有想法、有对策，同时要对整个小学阶段的解决问题的脉络有系统的研究和思考。

例如，教学一年级下册第20页“用20以内的退位减法解决问题” 时，在学生发现题目（如图1）中的数学信息和数学问题后，教师可以鼓励学生用自己喜欢的方式把题目的意思画下来。

有的学生用1个“”表示1个人，有的学生用1个“[○]”表示1个人，有的学生用1条“/”表示1个人。在学生充分汇报自己画图的意思的基础上，教师先是给予肯定，并引导学生得出“我们队踢进了4个”这条信息是多余的，再引导学生比较、分析这些画图方法，感受到用圆圈、竖线画示意图比画实物图更简洁。在这个过程中，学生不仅能在画图基础上充分理解题意，找出题目中解决问题的有效信息，还能感受到用示意图表示的简洁性，更能在画示意图的过程中感受一一对应的数学思想。

二、看图说“画”——提高识图能力是前提

在解决问题教学中，学生不仅要具备画图的意识，还应具备识图的能力。作为数学解决问题教学中的一种“有形”的文字——图示，学生要在充分理解的基础上，能将它转化为数学语言。将图形表征转换为语言表征，一方面有利于“输入”——能将形象的图形所隐藏的数量关系抽象出来，提升学生的数学思维;另一方面有利于“输出”——对学生将文字表征转换为规范的图形表征有着引领指导作用，促进学生画图能力的形成。这就要求教师能够提供机会让学生识图：或是通过教材上规范的图示，或是通过教师示范画的图示，或是借助学生所画的图示。因此，如果说“会画”是目的，“识图”就是前提。

例如，三年级上册第54页“倍的认识”习题第5小题：

该题绝对不能当成看图填空题，教师要充分引导学生观察线段图，找到图中的数学信息和数学问题，并用数学语言完整地描述出来。其中，蜗牛的数量是具体明了的，甲壳虫的数量需要计算，而甲壳虫与蜗牛的数量关系是这题的关键。通过安排学生独立思考、小组交流和集体汇报，重点引导学生理解每一条线段表示的是什么意思，明确“甲壳虫的数量是蜗牛的3倍”这条信息是怎样得到的。这样，学生的识图能力就能得到进一步的提升，学生也能从中感受到数学图形的简洁美。

三、心中有“画”——运用画图策略是目的

利用画图解决数学问题，除了让学生借助直观的示意图将题目中的数学信息和蕴含的数量关系以直观形象的方式表示出来，更为重要的是让学生在实践应用中能根据遇到的实际问题，灵活运用学过的画图方法来解决问题。

1.借用示意图，“画”在不明题意之时

从心理学的角度来看，学生的认知和思维是存在差异的。大部分学生对题目的理解出现困难或模糊不清时，对问题的解决就会考虑不全面，尤其是图形与几何领域的问题。这时，就需要画示意图帮助理解题意，厘清解题的思路。

要求“如果一面靠墙，篱笆至少需要多少米？”，关键是要理解“至少”的意思。在学生充分说的基础上，为了帮助学生进一步理解题意，找到解决此类问题的方法，教师可引导学生用图示表示两种情况。

（1）长边靠墙：[6米][3米]   篱笆长度：2×3+6=12（米）。

（2）短边靠墙： [6米][3米]    篱笆长度：2×6+3=15（米）。

通过画图，学生能清楚地理解题意，找到答案。然而教师不能止于此，应让学生对比、分析、归纳出解决此类问题的方法：要使篱笆的长度最短，必须长边靠墙。这样就能培养学生思维的全面性。

2.善用线段图，“画”在不清数量关系之时

现行人教版教材三年级上册就出现了线段图。一方面是促使学生的思维水平从形象直观逐步向半直观半抽象过渡，另一方面也是问题中数据越来越大、数量关系也越来越复杂的必然趋势。而对数量关系的理解，是解决问题的关键。因此，当问题中的数量关系不明确时，线段图是最有效的辅助方法。

由于数学信息较多，学生很容易出现根据所给数字直接列算式“（5+3）×2=16（个）”的情况，从而忽略熊妈妈给出的3个玉米。如果辅以线段图就能清晰明了地找到题目中的数量关系：   [ ][？个][5个][3个][3个][ ][熊妈妈][小熊]

从图中便可得知，熊妈妈的玉米数比小熊得到3个后的2倍还多3个，算式为（5+3）×2+3=19（个）。

3.巧用矩形图，“画”出数学问题的关系

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，在解决数学问题时把数量关系与空间形式结合起来，可以化形为数，把抽象的数学问题直观化、生动化，还有助于学生把握数学问题的本质，提高解决问题的能力。

例如， 一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做20天完成。现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息），问从开始到完工共用了多少天？

根据题目中的条件“甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）”可知，甲队独做8天，乙队独做2天，剩余的工作量就是甲、乙合作的工作量。用矩形图表示这项工程的工作量的分布情况：

[甲、乙合作的工作量 乙队独做2天的工作量 甲队独做8天的工作量 ]

由图可知，乙队独做2天的工作量是2[×][120]，甲队独做8天的工作量是8[×][110]，甲乙合作的工作量是1- 2[×][120]- 8[×][110] =[110]，甲乙合作的时间是 [110] ÷（[110]+[120]）= [23]（天） ，因此，从开始到完工的时间是[23]+2+8=10[23]（天）。

总之，画图作为解决问题中有效的辅助方法之一，应贯穿整个解决问题的教学，落实到每一次分析与解答中。在发现问题和提出问题的基础上，教师要让学生画图整理条件和问题，感受到画图能清楚地理解题意，这样才有助于学生把握数学问题的本质，沟通学生在解决问题过程中的“思”与“行”，提高学生解决问题的能力。

（责编 金 铃）