浅谈函数的发展史与高中函数概念的教学

郭志平

高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，而且还用集合与对应的语言刻画函数，这也是高中数学教学中难以理解的概念之一。回顾函数概念的发展史，从中探寻函数概念的教学规律，对我们高中函数概念的教学无疑是有益的。

一、从函数发展史突出函数概念的“变量”的思想

数学由常量数学进入变量数学是人类认识的飞跃，同时也是学生转变认识对象的巨大鸿沟。变化是函数产生的原因和源头，也是函数概念的重要突破口。让学生结合实例，从两个变量联系的角度理解两个变量的关系，完成对函数概念内涵的抽象认识。

例 指出下列变化过程中的变量和常量，并用适当的形式表达变量间的关系。

（1）一个水滴落到平静的湖面上锁形成的一系列圆的面积S与圆半径r的关系

（2）气体的质量m一定时，它的体积V与它的密度p之间的关系

（3）锐角 与锐角 互余，则 与 的关系

通过以上问题的思考，学生对变量间的共同属性有了进一步的认识， 同时学生也对函数“变量说”有了清晰的认识，形成了函数概念：在一个变化过程中的两个变量x与y，如果对于x的每一个值与之对应，那么说x是自变量。y是x的函数。使得学生从原来地常量、代数式、方程和算式地静态关系中过渡到变量。函数这样地表示量与量之间地动态关系的思维方式上，从而使他们的认识达到飞跃。

二、从函数发展史突出函数概念本质

函数的发展至今经历了几百年的孕育、形成、确定、发展的过程，可知函数的概念是千锤百炼，精益求精。同时它涉及的概念众多，而且抽象度相当的高，如变量、对应、定义域、值域等。这些都是学生学习函数概念之前应该尽早的向学生渗透的概念，例如，在讲高一教材中的函数概念的定义；设两个变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么称y是x的函数，其中x叫自变量。，x的取值范围叫做函数的定义域；与x相对应的y值叫做函数值。函数值的集合叫做函数的值域。

例 y=1（ ）是否函数？

解因为在实数集R范围内的任何一个数x，无论怎么变化，按对应法则“函数值总是1”，在y中都有唯一确定的值1与它对应，所以y是x的函数。

例 已知函数 ，求 ，

解 ；

；

首先要让学生明确函数符号 中的f表示对应关系，在不同的函数中， 的具体含义不一样。例如，在函数 中的对应关系 表示的是“函数值自变量的3倍”；而在函数 中对应关系f表示“函数值是自变量的倒数”所以理解函数概念要把握三点：（1）一个变化过程，（2）两个变量，（3）一种对应关系，判断两个函数是否具有函数关系可以根据这三点为依据。

三、正确引导学生从函数的一种概念过渡到另一种概念

函数概念从最初孕育发展到集合说，在这个过程中数学家们不断地对函数概念进行打磨，修饰，希望其能够尽善尽美。教材也要遵循历史发展的规律，在初中将函数的概念描绘成“变量说”，这样容易被学生接受，在高中阶段，为了以后进一步学习的需要，我们又将函数概念描绘成为“集合说”。

高中教材给出如下的函数概念：设A，B是非空的数集，如果按某个确定的数f（ ）和它对应，那么就称f：A，B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（ ）， 这样就出现了一个概念前后描绘方式不统一的现象，，学生就会想：为什么同一概念会有不同的描绘方式？哪一种描绘才是正确的呢？为了解决学生的疑问，我们在引入“集合说”的时候向学生说明引入这种说法的原因。

四、从函数发展史的“对应说”完成对函数内涵的第二次抽象认识

通过实例，让学生对函数概念的认识从变量间的相互依赖关系过渡到两个变量的对应系 ，而函数概念内涵是对应的关系。

例（1）分段函数 ，其定义域A= ，f的作用是对自变量根据其是否大于1进行不同的变换，如果 ，则f将 变为1，否则，f将 变为其本身。

（2）设 ，求

解由 及 可知 的定义域A= 。 ， = = ，易知对应规律 ： ，即 把自变量平方后加1再取倒数。也就是 ： ，所以 = ， 。

所以对类似上述具体函数的分析，能进一步理解函数y= 中对应规律 的作用，从而加深对函数概念实质的理解。这样设计的函数概念的教学，目的是让学生沿着数学家探索函数概念所走过的路，经历了“一次一次地推翻概念“的研究过程，让学生对函数概念的发展、内涵与外延认识更加的深刻。

五、总结

综合上述，函数概念是高中数学中重要的概念之一，函数概念发展已经经历了认识不断上升的三个阶段，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的。函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情。它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，所以函数思想要做到及早渗透；形成变量观是理解函数概念的起始和基础；函数概念的教学要循序渐进、数形结合，并注意应用变式。结合函数发展史，不仅能够进一步加深对函数概念的认识与把握，也是深入了解函數思想和整个数学理论发展的重要途径。给函数的教学带来了较大的益处。