在初中视角下谈函数的整体性教学策略研究

彭丽华

【摘要】数学教育中实践整体性原则就是要树立数学教育观，其實质是数学的整体素质教育.要把师生从数学知识的微观教学中解放出来，升华为数学能力、数学智慧、人类文化及科学文明教育.

【关键词】数学;函数;教学

相当一部分学生在进入高中后，由于多方面的因素导致数学跟不上，其中有个重要的原因就是初中函数的基础没有打好，导致高中的“头”没开好.那么，除了高中教师在了解学生的数学已学知识和心理特征后，做好函数的衔接教学之外，下面来谈一下作为初中教师，又能为学生的后续学习做好怎样的准备.

一、函数概念的整体性教学策略

1.函数是知识网络中的“节点”，有助于产生系统化、结构化的数学知识.利用丰富的生活资源让学生体会数学来源于生活，通过匀速行驶的列车等让学生体会变量与常量，创设大量学生熟悉的实际情况，让学生探索发现同类事物的关键特征，便可得到函数的定义.

2.函数概念的同化与顺应.当学生的认知结构中已有函数的概念，后续学习一次函数、反比例函数、二次函数虽然都以“形如”的函数表达式出现，但我们可以将自变量x取不同的数，对应的都会有唯一的y值.始终围绕函数概念的“唯一”这个关键词，以此使学生形成结构化、系统化的知识概念.另外，函数的概念可通过反例和变式进一步强化.

3.函数的概念在实际应用中不断回归、反刍.在实际问题中的分段函数体现了随着自变量的取值范围发生改变，函数有着不同的表达式.初中函数的定义采用的是“变量说”，不同于高中的“对应说”，故而没有明确的函数三要素：定义域、对应法则、值域之说.但课程标准要求能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值，这与高中的目标是一致的.在实际问题的应用中，对各个变量情况进行初步讨论，对照函数的定义让学生体会函数的“唯一”性.

重视对图形语言的回归.由于定义采用的是列式表示，几类函数在给出函数的定义后都是通过列表法来描点得到函数的图像.在这里列表的过程本身体现了函数的两个变量的依赖关系及“唯一”性，那么由此得到的图像也正是刻画两个变量间的这种关系.当直接给出图像来判断变量间关系是否为函数时，依然抓住“唯一”性.

例如，下列图像表示函数图像的是（ ）.

可以取图像上任意一点向x轴做垂线，若该垂线与图形有两个或两个以上的交点，那么这个图形就不是函数图像;若只有一个交点，则这个图形就是函数图像.这是方法，但要跟学生解释清楚取图像上任意一点向x轴做垂线与图形的交点的横坐标就是自变量，根据函数的定义有“唯一”的因变量与之对应，也就是说只有一个点，所以有两个或两个以上的交点，那么这个图像就不是函数图像.

二、单个函数的整体性教学策略

（一）通过“章头课”引领整章的教学

以全局观把握整章学了什么，如何学习，走向何方.“章头图”就是激起同学们学习新的章节的欲望，树立良好的信心.

以一次函数为例，苏科版通过三张“章头图”开启函数的全新之旅：直角坐标系下一条标有y=kx+b的直线、飞速行驶的列车、弹簧长度与受力大小的实验.这三幅图让我们感受到一次函数并非冷冰无趣的，而是具有强烈的感召力和富有灵动的.弹簧的长度随着砝码的变化而发生改变，激发学生找寻百变不离其宗的规律.逐步引导学生自主以实际问题为背景对一次函数下定义，并发现函数的三种表示方法.通过列表描点进一步研究函数的图像，让学生尝试编写教材去设计应用题，体会函数来源于生活最终回归生活.让学生充满自信地翻开新的篇章.通过这样一个“章头课”的设计逐步引导学生建构出整章相关知识的框架.

（二）突出函数的数形结合思想，强化待定系数法

初中所学函数的定义都是从“数”的角度提出的，故而待定系数法作为一种“数”的研究必须强化.要注意不应单纯强调方法，而需引导学生感知要确定一个待定系数的值（一个未知数），就需要具备一个已知条件，这一灵魂应贯穿于整个函数的教学.

当函数的自变量赋予具体的数后便有具体的值与之对应，采用列表的形式而后在坐标系中表示出来，便有了“形”.一次函数的图像是一条直线，反比例函数的图像是一条双曲线，二次函数的图像是抛物线.反过来，当我们判断一个点是否在函数的图像上时，从“形”上直接描点无法精确，此时，仍需回归到数，将横坐标作为自变量带入求出函数值，检验与纵坐标是否一致来判断是否在图像上.

二次函数从代数角度来说明问题：从非负性的性质来确定函数的自变量和因变量范围;从平方根的概念寻找函数的对称轴;从变量变化发现函数的单调性;理解配方的意义.而这些从二次函数的图像即“形”的角度亦可观察得来.

三、多个函数之间的整体性教学策略

初中所学的函数类型，在一次函数这个支架搭好的基础上，把凌乱的多个函数串在一起，使它们成为有序的群体.学生不仅能掌握好独立的每个函数，也有利于产生不同函数类型间的联系与区别.在一次函数的教学中按照概念表示法、图像、性质及应用这样一条脉络行走的，当学生掌握好一次函数后便可按图索骥来学习后续的反比例函数及二次函数.

反过来，后续函数的学习亦可对之前所学函数进行巩固提升.以图像的平移为例，在二次函数的教学中，教材安排了几组函数讨论了函数的上下及左右平移.而在一次函数中教材只是涉及了上下平移，这是由于学生当时的思维层面决定的.但是，在初三学完二次函数之后，再让学生体会一次函数的左右平移便水到渠成.另外，可以让学生大胆的尝试对反比例函数进行上下左右的平移，于是便有了一次分式函数.作为初高中教材的真空地带，对学有余力的同学可以拓展研究，让学生体验到自我发现一类新函数的成功与喜悦.

四、函数与方程、不等式的整体教学策略

函数与方程（不等式）作为中学阶段重要的思想方法，从方程、不等式到函数的正迁移，让学生有了块状的数学思想方法统领，优化整体的知识结构，提高教学效率.“搭小鱼”这个材料前后4次贯穿其中，并不断深入研究.

两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之亦然.根据平面直角坐标系内一条直线与x轴的交点，在x轴上方和下方部分的所有点的横坐标满足的特征，便很好地把一次函数图像与一元一次方程、不等式建立了联系.同样的，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像与x轴交点的个数即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）实数根的个数，反之，亦可根据方程根的情况判断函数图像与x轴交点的个数，交点横坐标即为方程的根.教材中读一读的引申便指向高中要学习的一元二次不等式，形成了知识的系统性，也为高中学习零点做好铺垫.

综上所述，在函数教学中注意知识横向和纵深发展结合，对知识的整体性教学进行有效整合，不是简单的零件组装，要充分挖掘教材、层层设计、统筹兼顾.数学教育中实践整体性原则就是要树立数学教育观，其实质是数学的整体素质教育.要把师生从数学知识的微观教学中解放出来，升华为数学能力、数学智慧、人类文化及科学文明教育.

【参考文献】

[1]李霞.初高中函数衔接教学问题探究——二次函数课“代数说理”的数学尝试[J].福建基础教育研究，2015（2）：29-30.

[2]李树臣，高耿海.整体把握函数内容，宏观设计教学策略——以青岛版《义务教育教科书·数学》对“函数”的设计为例[J].中学数学，2014（16）：29-33.