小学数学乘法分配律之刍议
2019-03-07刘福
摘 要：小学数学的计算，本着“对”“快”“巧”的基本原则，乘法分配律在其中扮演着非常重要的角色。
关键词：刍议；小学数学；乘法分配律
乘法分配律a×（b±c）=a×b±a×c，反过来，a×b±a×c=a×（b±c）。看似不深奥，但是要把它悟透，以至于使用得炉火纯青，尚需教师引导学生深度思考辅以不同层次的练习。
一、 理解应用
“问渠那得清如许，为有源头活水来”，理解乘法分配律的意义可以从计算、几何意义等多角度来讲解，使小学生掌握其要义，不至于囫囵吞枣，形而上学。
25×（4+40）
=25×4+25×40
=100+1000
=1100
25×4是左边长方形的面积，25×40是右边稍大长方形的面积，25×4+25×40是最大的长方形的面积。通过“数形结合”，学生可轻松理解并记忆该定律。这种几何意义的讲解，激发学生把已有知识（长方形面积）和新授要点（乘法分配律）有机结合起来，对于开拓学生“数形结合”的思维训练大有裨益。拓展思维，学生们很容易得出：
a×（b+c+d）=a×b+a×c+a×d
a×（b-c-d）=a×b-a×c-a×d
a×（b+c-d）=a×b+a×c-a×d
1. 直接应用训练。这是小学生学习的入门阶段，亦可以结合面积的意义，强调公用宽，必须要用2次来计算两个长方形的面积，反过来只用1次，计算最大长方形的面积。
125×（8+80）
=125×8+125×80
=1000+10000
=11000
25×113-25×13
=25×（113-13）
=25×100
=2500
对应几何意义，学生对顺/逆用乘法分配律理解得更加深刻，应用得也更加娴熟。
2. 变形训练。这一部分也是小学生运用乘法分配律的重点和难点，同时亦是小学阶段简便计算的思维精华所在。
48×101两位数48乘以三位数101，本应排竖式计算，启发同学们运用乘法分配律，变成一个数乘以两个数的和或差，从而得出如下解法。
48×101
=48×（100+1）
=48×100+48×1
=4800+48
=4848
变形题：99×48
以上两题都应用了“加减法”拆数，从而直接应用乘法分配律，101=100+1，99=100-1，可它们都是把一个数拆成整百的数加上（或减去）一个个位数，这时可以打破思维定式，推导出以下题型：
125×88 25×41
启发学生拆数也可以拆成整十位数加上（或减去）一个个位数：
125×88
=125×（80+8）
=125×80+125×8
=10000+1000
=11000
进一步推广到分数乘法，运用乘法分配律，亦可以化难为易，如下题：
57×5556
=（56+1）×5556
=56×5556+1×5556
=55+5556
=555556
成功地化解了56和57只有公因数1，不能约分的难点，令人耳目一新，豁然开朗。
二、 逆向应用
39×14+61×14
=14×（39+61）
=14×100
=1400
把“14”理解为两个长方形共同的“宽”，“39”和“61”理解为两个长方形的“长”，联系几何意义，很简单。
适时推出变形题：
3. 74×2.85-3.74+8.15×3.74
3559×29+6559×29-19÷129
48.1×9.4-48.1÷52+48.1
527÷326-227÷326
进一步推广到分数除法，如64117÷9，该题似乎与乘法分配律“风马牛不相及”，但是运用除法的意义，辅以合理拆分，就能化繁为简。
64117÷9
=63+1117÷9
=63+1117×19
=63×19+1817×19
=7217
该题把带分数用加法拆分，巧妙地解决了约分问题，令人深思！
适时推出变形训练题
55.8÷9 73511÷8 56113÷27 224+1222×1223
至此，逆用乘法分配律可以适当综合，如可以出现二次使用乘法分配律一类题型，如：
235×12.1+235×42.2-135×54.3
该题正确的思维方法是，首先考虑前面两个数的乘积加两个数的乘积，后面可以暂时放一放，训练学生运用已有知识在思维的黑洞中探索前行，最后时刻别有洞天，大开眼界。
原式=235×（12.1+42.2）-135×54.3
=235×54.3-135×54.3
=（235-135）×54.3
=100×54.3
=5430
繼续推出变形训练：
19.9×9+19.9
该题启发学生把后面的19.9变为19.9×1，大小不变，同时也理解为一个长方形的面积，共用宽（或长）19.9，至此水到渠成。
原式=19.9×9+19.9×1
=19.9×（9+1）
=19.9×10
=199
2014×18-201.4×90+20140×0.1
该题，从几何意义上理解，困难在于三个长方形没有共同的宽，无法合并成一个大长方形。启发学生利用小数乘法移动法则，可将2014、201.4和20140这三个数变成相同的数，当然选择2014最恰当。
原式=2014×18-2014×9+2014×1
=2014×（18-9+1）
=2014×10
=20140
变形训练：334×735-0.375×5730+16.2×62.5
该题不仅需要熟悉334=3.75的互化，而且需要两次逆用乘法分配律，两次利用小数乘法移动法则，训练学生融会贯通的思维能力。
看下面一题：
75×4.7+15.9×25
该题仅仅想通过扩大（缩小）10倍，100倍……移动小数点无法解决，启发学生扩大（缩小）2倍，3倍……这样，很容易打开思维的突破口。
原式=（75÷3）×（4.7×3）+15.9×25
=25×14.1+15.9×25
=25×（14.1+15.9）
=25×30
=750
当然，也可以启发学生把“75”作为两个“长方形”共同的“宽”进行变形，异曲同工，只不过四年级学生有时很无奈，只有一种选择，如下题：
222×999+333×334
该题如首先考虑把999作为两个“长方形”共同的“宽”，则会遇到334÷3无法除尽的问题。但五、六年级学生可以智化为3343，摸索前行，最终取得成功。
原式=222×999+（333×3）×（334÷3）
=222×999+999×3343
=999×222+3343
=999×6663+3343
=999×10003
=333×10001
=333000
但是对于四年级学生，只能是“自古华山一条路”，此题可以训练学生思维碰壁后，要善于迂回，最终解决问题。
原式=（222×3）×（999÷3）+333×334
=666×333+333×334
=333×（666+334）
=333×1000
=333000
下一题47×1317+13×417
该题运用前面综述方法，均不奏效，无法找到相同的因数，但如果学生逆向思维能力强，可以这样理解：47×1317=47×13 17=13×4717=13×4717，问题迎刃而解。
原式=13×4717+13×417
=13×4717+417
=13×5117
=13×3
=39
推出变形训练：39×148149+148×86149+148×24149
三、 综合计算
乘法分配律无论正、反两方面的使用，很多情况下，都可以和交换律、结合律、倒数的意义和（积）商不变的性质等融会贯通在一起，多做这样的训练，使学生充分感受数学的魅力，从而提高学生的思维广度和深度。
【例1】 3512+12.5+54.5×0.8
该题如直接用递等式计算，或者直接用乘法分配律，都不是最佳路径，我们可以启发学生注意观察，特别是125×8这个固定搭配的使用联系加法结合律和乘法分配律，从而正确解答。
原式=（35.5+54.5+12.5）×0.8
=（90+12.5）×0.8
=90×0.8+12.5×0.8
=72+10
=82
【例2】 8.15×158+67.6×18.5+81.5×51.8
该题有四个小数数字，看起来眼花缭乱，一时不知所措。同学们从“整体”观念出发，把三个积看作三个加数，先用加法结合律，逐渐探索，再用乘法分配律，愈探愈妙！
原式=8.15×158+81.5×51.8+67.6×18.5
=8.15×158+8.15×518+67.6×18.5
=8.15×（158+518）+67.6×18.5
=8.15×676+676×1.85
=676×（8.15+1.85）
=676×10
=6760
【例3】 3.6×3.14+43.9×6.4
該题用常规思路困难重重，无法突破，但如果联想到乘法分配律，注意到3.6+6.4=10，从几何意义出发，只要找到两个“长方形”相同的“宽”，问题得解。可是31.4和43.9既不成整十、整百……的倍数关系，也不成两倍、三倍……关系，思维似乎陷入死胡同。但是我们非得用乘法拆数吗？难道不能打破常规，用加减法拆数吗？一丝曙光闪现：43.9=31.4+12.5
原式=3.6×31.4+（31.4+12.5）×6.4
=3.6×31.4+31.4×6.4+12.5×6.4
=31.4×（3.6+6.4）+12.5×8×0.8
=31.4×10+100×0.8
=314+80
=394
上题后一部分12.5×6.4，联系到125×8=1000的固定搭配，又运用了乘法结合律，“运用之妙存乎一心”，令学生们回味良久，赞叹不已。
【例4】 2008÷200820082009
该题，很多小学生“似是而非”，“想当然”地这样解：
原式=2008÷2008+20082009
=2008÷2008+2008÷20082009
=1+2008×20092008
=1+2009
=2010
似乎很顺利，很“合理”，可是从第一个等号起就错了，他们想当然地用了所谓的“除法分配律”。为使学生们的思维之泉清澈，可以从下题入手，逐步理解，识得“庐山真面目”。
【例5】 200820082009÷2008
原式=2008+20082009×12008
=2008×12008+20082009×12008
=1+12009
=112009
上题从第一个符号起，实际运用的是标准的“乘法分配律”，毫无疑义，运用正确，而我们仿照此题解例4会发生什么呢？试一试！
2008÷200820082009
=2008÷2008+20082009
=2008×12008+20082009
运用除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，居然出现了繁分数，到此为止，无法约分，无法运算下去。至此学生们恍然大悟，认识到自己“想当然”的除法分配律的错误。最后问题来了，这道题到底该如何解答呢？笔者给出了三种解法，以飨读者：
第一种方法：
2008÷200820082009
=2008÷2008×2009+20082009
=2008÷2008×2009+2008×12009
=2008÷2008×（2009+1）2009
=2008÷2008×20102009
=2008×20092008×2010
=20092010
透过解题过程，我们看到了一个耐心、严谨、机敏并且基本功扎实的小学生。
第二种方法：
联想到例5能够运用乘法分配律求解，观察例4和例5，他们俩只是被除数和除数做了交换，再联想到倒数的意义，他们的商一定互为倒数。因为a×b=1，a和b互为倒数，那么a=1÷b，即2008÷200820082009×200820082009÷2008=1。
原式=1÷200820082009÷2008
=1÷2008+20082009×12008
=1÷2008×12008+20082009×12008
=1÷1+12009
=1÷112009
=20092010
该种解法运用倒数的概念打开突破口，用已有知识解决新问题，让学生体会到一个不经意的数学概念的魅力所在，从而警醒小学生养成良好的数学学习习惯。
第三种解法：
原式=（2008÷2008）÷200820082009÷2008
=1÷200820082009÷2008
=1÷2008+20082009×12008
=1÷2008×12008+20082009×12008
=1÷1+12009
=1÷112009
=20092010
此種解法运用商不变的性质，轻松把例4转化为学生熟悉掌握的例5，让学生感受到各种数学知识融会贯通之妙。
总之乘法分配律是小学数学的一种重要的运算定律，我们首先要正本清源，准确理解，其次，多思考、多运用，才能“渐臻佳境”“炉火纯青”，实现小学数学计算“对”“快”“巧”的基本要求。
参考文献：
[1]赵存焕.浅谈小学数学中如何巧用乘法分配律[J].学周刊，2012（12）.
[2]许德道.“乘法分配律”研究综述[J].新课程（上），2016.
[3]安桂清，桑雪洁.“教师如何做课例研究”之二 教案的合作设计[J].人民教育，2010.
作者简介：
刘福，安徽省六安市，安徽省六安市金安区望城岗小学。
