具有负系数的一类广义螺旋解析函数

周海燕，汤 获

(赤峰学院数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000)

1 引言

设f(z)，g(z)在D内解析，如果存在 D内解析函数 ω(z)，满足 ω(0)＝0，，使得f(z)＝g( ω(z))(z∈ D)，则称 f(z)从属于 g(z)，记为 f(z)≺ g(z)[1-2].

1936年，Robertson在文献[3]中引入α阶星象函数类：

特别地，当α＝0时，S∗(0)＝S∗为经典的星象函数类[4].

1967年，Libera在文献[5]中引入α阶γ螺旋函数类：

1973年，Janowski在文献[15]中推广了函数类S∗(α)，引入函数类：

特别地， (1)当A ＝1-2α (0≤α ＜1)，B ＝-1时，S∗(1-2α，-1) ＝ S∗(α);

(2)当A ＝1，B ＝-1时，S∗(1，-1) ＝ S∗(0) ＝ S∗.

1984年，Kumar在文献[16]中引入如下函数类：

2 主要结果及其证明

本文中，利用上述从属关系，我们定义如下广义螺旋解析函数类：

定义2.1 设0≤λ ≤1， -1≤B ＜ A≤1， -1≤B ≤0，，若函数f(z)∈T满足条件

则称 f(z)∈ P(λ，β，A，B).

由定义2.1和从属关系可知，f(z)∈P(λ，β，A，B)当且仅当存在D中的解析函数w(z)，满足w(0)＝0，，使得

而由(2)式，我们不难得到

或

特别地，(i) 当 λ ＝ 0 时， P(0，β，A，B) ＝ P(β，A，B);

(ii)当 λ ＝ 1 时， P(1，β，A，B) ＝ Pβ(A，B);

(iii)当 λ ＝ 1 ，β ＝ 0时，P(1，0，A，B) ＝ P(A，B)[16].

以下，我们主要讨论上述广义螺旋解析函数类P(λ，β，A，B)的一些性质，如系数估计、偏差定理、积分算子保持性、封闭定理等.

定理2.1 设0≤λ ≤1， -1≤B ＜ A≤1， -1≤B ≤0，，则函数

f(z )∈ P(λ，β，A，B) 当且仅当

证明： 先证充分性.令 z ＝ 1，则

而由(4)式，我们可得

由最大模原理知， f(z)∈ P(λ，β，A，B).

其次，证明必要性.令

消去上式分母，并令z→1-，即得

如果取函数

则能达到精确值.证毕.

推论2.1 设 -1≤B ＜ A≤1， -1≤B ≤0，，则函数 f(z)∈ Pβ(A，B) 当且仅当

定理2.2 若 f(z)∈ P(λ，β，A，B) ，则对于，有

因此

有(5)式成立.

如果取函数

则能达到精确值.证毕.

推论2.2 若f(z)∈Pβ(A，B)，则对于，有

fj(z)∈ P (λ，β，A，B )，则

而

再利用定理 2.1，即得 g(z)∈ P (λ，β，A，B ).证毕.

定理2.4 设c是实数且c＞-1，f(z)∈P (λ，β，A，B )，则函数

为了检验内外部治理机制的调节作用，运用模型 （1）分样本进行回归，经过F检验和Hausman检验，最终选择固定效应模型。结果如表3的第3～4列所示。可以看出，市场竞争在不同制度背景企业中呈现出了完全相反的影响：在民营组，管理层能力与市场竞争交互项的相关系数依然显著为正，而在国营组，二者交互项相关系数在5%水平下显著为负，不再呈现正向激励特征。激烈的市场竞争对管理者敏锐把握市场变化的能力提出了更高的要求，在面临市场机会抉择时，体制的庇护削弱了市场化竞争环境对国有企业经营的冲击，反而弱化了高能力管理者的研发意愿，验证了假设2b。

因为 f(z)∈ P (λ，β，A，B )，所以

于是由定理2.1，F(z) ∈ P (λ，β，A，B).证毕.

推论2.4 设c是实数且c＞-1，f(z)∈Pβ(A，B)，则函数

则 f(z)∈ P(λ，β，A，B) 当且仅当

证明：设

则

因此由定理2.1 可知， f(z)∈ P(λ，β，A，B).

另一方面，设 f(z)∈ P(λ，β，A，B) ，则由定理 2.1，有

令

证毕.

则 f(z)∈ Pβ(A，B) 当且仅当

注2.1 在本文所有结果中，若取λ＝1，β＝0时，即得文献[16]中的结果.