基于泊松分布的误码率提前判决算法*

樊方迪，司伟立，韩 娟

（1.重庆邮电大学通信与信息工程学院，重庆 400065；2.北京中科晶上科技股份有限公司，北京 100180； 3.中国科学院计算技术研究所无线通信技术研究中心，北京 100090；4.中国科学院大学，北京 100049）

0 引 言

终端接收机测试过程中，误码率是一项关键性指标，通常使用综测仪模拟基站发送已知的数据，被测设备接收到再发送给综测仪。综测仪对比数据流统计出错数据，通过错误的比特数（或数据块）与总发送的比特数（数据块）的比值计算误码率（误块率）[1]。然而，即使测试大量的数据，也无法保证是真误码率，因为真误码率意味着传输数据量无穷大时测得的结果。这是不可能实现的，因为实际测试都是有限次数，必须对结果有一定的容忍度[2]。

陆地蜂窝移动通信终端普通采用卡方分布作为early pass/fail的测量算法，以较高的统计显著性水平进行测试，达到了测试要求。但是，因为进行判决的代入变量是错误的比特数，如果设定的停止条件是误比特数的统计量，那么必须接收到误比特数。如果本身误码率极低，则有可能长时间也没达到停止条件，最终并不能减少测试时间。相反地，如果由于某些测试条件会引入波动，如多径衰落条件、生灭传播条件或者移动传播条件，将影响错误比特的统计独立性[3]，即开始阶段出现大量误比特，很早满足了判断条件，导致测试结果并不准确。所以，为了平均这种波动的影响，只能引入最小测试时间的概念，在达到最小测试时间后，方可进行early pass/fail的判决。

进一步地，可以结合概率论与数理统计中的泊松分布，将测试比特数作为变量，引入最小测试比特数作为停止条件。当测试比特数达到最小测试比特数时，则进行判决。如果能够判决通过或者不通过，则结束；如果无法判决，则继续测试一定比特数，直到能够判决出结果后结束。这样虽然有小概率的情况误判，但是对于整个测试流程效率的提升明显，且误判概率是可控的[4-6]。

1 模型建立

1.1 概率分布

在误码率测试过程中，每个错误比特的发生都具有统计独立性，也就是对于每一个接收的比特发生错误的概率相等。因为条件相同，所以发生错误的概率也相等。泊松分布是描述某事件以固定强度λ在单位时间内随机且独立地出现的次数的离散分布。所以，可以用泊松分布计算导出通过和失败的标准。

已知泊松分布的概率密度函数为：

其中参数λ是单位时间（或者单位面积）内随机事件的平均发生次数[7]，k为统计的具体发生次数，P为发生的概率。应用到误码率测试中，则k代表单位时间内统计的误比特数ne，强度λ为期望的误比特数，有λ=ber*ne=NE（ne为测试比特总数）。代入式（1），得：

1.2 公式推导

实际测试过程中假定一个置信度D，通过牺牲结果的准确性来缩短检测的时长。当置信度达到足够大时，带来的收益远可以弥补极小几率误判的情况。综上所述，需要使用逆累积泊松函数，即：

的逆函数，通过置信度D=p(X≤ne)、互补概率1-D和测试过程中累加的总比特数ns计算出nelow和nehigh，再与实际的误比特数ne做比较[8]。如果在实际测试过程中：

（1）ne＞nehigh，即则提前判决不通过；

（2）ne＜nelow，即则提前判决通过。

2 测量算法设计

2.1 泊松分布算法

根据逆累积泊松函数qpois(D,NE)发现，需要使用最小测试时间。为了方便可以将最小测试时间转变为最小测试比特数。在测试最小比特数后，则统计出实际误比特数ne，通过误比特数计算出归一化误比特率BER，再与ne/NE进行比较做出判决。

利用MATLAB仿真软件的poissinv(D,NE)函数，仿真结果如图1所示。

通过乘以一个因子可以将上下限逼近以改变置信度区间。比如，在qpois(D,NE)上乘以一个M因子，一般取值为1.5，即将通过要求降低M倍，这在实际测试中是允许的，M称为坏DUT因子，如图2所示。

图1 泊松分布仿真

图2 early pass/fail仿真

不难发现，在测试总比特数不高时，会存在qpois(1-D,ne)＜ber＜qpois(1-D,ne)无法判决的情况。如果结果处在无法判决的区域，则继续测试；如果测试误比特数达到甚至超过测试要求，则说明 early pass/fail不适用；若测试值已经达到测试极限，则强制判决[9]。

2.2 判决方法

通过设定好置信度D开始测试，当测试总比特数达到最小要求后，则统计出错误比特数代入 式（2）、式（3）计算ber，然后根据判决图进行判决，如图3所示。

图3 early pass/fail判决

图3中，横坐标表示统计的误比特数的理论强度NE，其中NE=ns*BERlimit；纵坐标表示BER，图3中上方的曲线代表判决不通过的最小极限值图3中下方的曲线代表判决通过的最大极限值图3中中间的竖向直线表示最大测试比特数，值为Testlimit。

当0＜NE＜Testlimit时，若BER＞berhigh，则在区域3内判决不通过；若BER＜berlow，则在区域2内判决通过；若berlow＜BER＜berhigh，则在区域1内继续测试。

当NE＞nelimit时，则说明early pass/fail不适用。若BER＞testlimit的值，则在区域5内，判决不通过；若NE＞nelimit的值，则在区域4内，判决通过。

3 仿真验证

3.1 最小测试时间

类比卡方分布，泊松分布算法的early pass/fail也需要确定一个停止条件。根据算法要求是确定一个最小测试时间，因为单一测试过程中数据传输速率不会改变，所以可以等价于最少测试比特数。所以，问题在于如何确定一个合适的值。如果设定的值偏小，则判断次数过多，影响效率；如果偏大，会导致不能及时作出判决，停止测试。

虽然从极限理论来看，只有当发送的比特数趋于无穷大时，计算的误码率才是真正准确的结果，但是实际测试中往往发送有限数量的比特数到接收端，通过出错的比特数与总比特数的比值获取误码率。随着发送比特数量的增大，结果愈发准确。所以，常规情况下设定的总比特数是与系统规范要求的误码率有关[10-12]。

比如，系统要求误码率要优于10-5，则测试的比特数肯定要远远大于10-5。所以，需要通过置信度来确定一个合理的大小。假设一个置信度值为B，则利用统计学中的二项分布和泊松定理，得到：

其中ne为测得的误比特总数，BER为系统要求的误码率。如果没有误码，则第二项为零（往往假设为零，以便计算）。

假设求一个真误码率小于10-4的系统，且保证可信度为99%时必须要有多少比特无差错的通过系统。代入式（4）得：

随着可信度要求的增高，所需无差错传输总比特数也增多，如图4所示。

图4 无差错传输比特数与置信度关系

可以发现，即使将置信度提升到很高，无差错传输比特数也大致是误码率要求倒数的整数倍。所以，可以考虑置信度为99%时计算的无差错传输比特数作为最小传输时间，以便可以约为整数倍。当然，在这段传输时间内未必能判决出结果，所以需要继续进行测量，每次增加1/BER的数量级测 试比特数，直至判决出结果[13-16]。

3.2 验证结果

假定置信度D=0.001且误码率要求是10-4，代入常规过程中，则需要无差错传输6.9×104个比特，即作为最小传输时间单位。在常规测试过程中，往往为了保证结果的准确性，会要求高于测试误码率要求倒数的两个数量级，即测试总比特数会高于106。

当使用early pass/fail判决时，先测试7×104个比特统计出误比特数。

若上述两种情况都不能满足，即无法给出判决结果，则继续测试104个比特。

利用MATLAB软件模拟上述的测试条件，同时假设3种情况，包括高误码率、低误码率以及接近于误码率要求，结果如图5所示。

图5 误码率仿真

如图5所示，其中标准BER表示设定的误码率要求。在ber＞BER即实际误码率大于标准误码率要求的情况下，测试比特为7×104个比特时，由于处于上下限之间无法判决，则可以继续进行测试；当测试比特达到3.2×105时，即可以提前做出判决不通过，相当于只占用了常规测试时间的32%。

在ber≈BER即实际误码率接近标准误码率要求的情况下，可以看出，一直不能做出判决。此时，可以在测试比特数达到106时强制进行判决。根据仿真结果，由于高于误比特要求的误码率，则判决不通过。

在ber＜BER即实际误码率大于标准误码率要求的情况下，当测试比特为7×104个比特时，由于处于上下限之间无法判决，则可以继续进行测试。当测试比特数达到1.4×105时，即可以提前做出判决通过，相当于只占用了常规测试时间的14%。

后续再通过多次测试仿真，作出了三种误码率情况下的各种判决情况的结果统计，如表1所示。

表1 仿真结果

根据统计结果发现，在多种误码率的测试情况中，绝大部分判决结果都是正确的，且基本符合置信度要求。当实际误码率与误码率要求相差越大时，判决也越快，即测试比特数越少，说明基于泊松分布的early pass/fail在面对极低误码率的情况更有优势。

4 结 语

通过理论分析与仿真对比发现，在同样的置信度要求下，early pass/fail对测试比特数量的要求低很多，对大规模误比特率测试效率提升显而易见。尝试使用逆累积泊松分布函数发现，相较于使用卡方分布，即将误比特数作为停止条件，不需要满足小概率出坏单元和大概率出好单元的条件，更适用于极低误码率的场景，可以更快地给出判决结果，具有更广泛的适用性。