甲供资源约束条件下南水北调工程项目群工期-费用优化模型研究

丰景春，朱晓婧，李 明，张 可，2，薛 松

(1.河海大学商学院项目管理研究所，江苏 南京 211100；2.国际河流研究中心，江苏 南京 211100；3.江苏省“世界水谷”与水生态文明协同创新中心，江苏 南京 211100)

1 引言

近年来，“一带一路”、京津冀协同发展等重大战略的实施加速推进了大中型建设项目的全面发展[1]。但伴随着建设项目规模的逐步扩大和参建单位的不断增多，使仅含唯一承包商的单项目管理理论不能再继续满足涉及多利益主体和复杂利害关系的大中型建设项目管理的要求。为有效实现对大中型建设项目的管理，需协调工期、费用和质量这三大控制性目标，引入项目群管理势在必行[2]。在目前基于工期和费用的竞争日趋激烈的环境下，项目群的工期—费用优化是在资源和优先关系的约束下，通过协调各合同项目的进度安排，达到项目群的工期和费用目标[3]。由于资源供方的差异，项目群的工期—费用优化又可分为甲、乙供资源约束条件[4]的度量。甲供资源是建设单位依据工程施工合同自行组织采购用于建设实施过程中的材料，有利于减少工程投资；而乙供资源是各承包单位分别采购的用于自身合同项目的材料，易造成整个项目群的材料冗余。因此，针对项目群多主体、多目标、多阶段的特征，研究甲供资源约束条件下的项目群工期、费用协调优化对项目经理确定项目群中各合同项目的起始时间具有重要的决策意义。

藉于国内外不少专家学者的辛勤耕耘，有关单项目工期—费用优化问题的研究取得了丰硕的成果。例如：De等[5]研究了项目工期—费用优化的类型并阐释了该类问题的复杂性，研究表明项目工期—费用优化具体可划分为：最短工期问题、费用最小化问题和工期—费用曲线问题。Deǐneko和Woeginger[6]详述了项目工期—费用优化的机理并提出了解决该类问题的智能算法。Haque和Hasin[7]研究了信息灰度下的项目时间—成本模糊优化。何正文等[8]从发承包双方的交互作用出发，分别构建了两者的项目工期—费用优化模型，结果表明项目的截止日期对业主的收益有反向抑制作用，而对承包商的收益有正向促进作用。苏菊宁等[9]提出了建筑供应链的概念，引入奖惩机制，构建了奖优罚劣条件下的项目工期协调优化模型。于静等[10]进一步研究了基于各工序间资源约束条件下的项目工期费用交换问题，研究表明各工序间资源冲突越明显，项目工期越不易被缩短。郑维博[11]丰富了资源约束条件下的项目工期—费用优化理论，更深入地研究了以发承包双方净收益最大化为目标的柔性工期下的项目调度问题。

综上，目前被广泛研究的单项目工期—费用优化一般只涉及单个承包商，以单一项目为管理对象，且仅以实现自身效用最大化为目标。而项目群工期—费用优化[12]是一组相关项目的整合优化，一般涉及多个承包商，以相互之间存在资源竞争和工期冲突的多个合同项目为研究对象，并以实现项目群整体效用最大化为目标。针对这一差异，在单项目工期—费用优化的基础上，国内外学者更深入地探究了项目群工期—费用优化的机理。王益锋和仲毅[13]基于各合同项目间的优先级排序实现了企业项目群的整体进度优化。耿瑞等[14]研究了基于图形评审技术的多项目费用优化。丰景春等[15]和汪玉亭等[16]引入奖惩机制，构建了项目群工期提前/延误的奖励/惩罚模型，进一步完善了项目群的费用组成。张春生和严广乐[17]引入资源时间因子，研究了结合时间—资源问题和时间—费用问题的项目群多目标优化。黄健仓[18]进一步研究了工期和资源双重约束条件下的企业多项目时间—成本优化，研究表明资源的可用量不仅影响项目的进度安排，而且还对多项目的整体收益产生影响。Pinha等[19]以资源利用率最大化为目标，进一步研究了多资源约束条件下的多项目时间—成本优化问题，实现了企业多项目中资源的合理配置。

现有研究在项目群进度优化、费用优化、多项目调度等方面取得了较多的研究成果，为我国大中型建设项目群优化管理提供了参考。但是，现有研究主要借鉴了单项目工期—费用优化的研究思路，通常仅对项目群实施前的初始网络计划进行优化，而忽视了因工期延误或工程量变更导致的对项目群实施过程中的初始网络的动态调整。因而，项目群的工期—费用全过程优化仍有待实现。

为此，本文首先从甲供资源约束的角度，以业主支付合同款项的净现值最小化为目标，研究了项目群实施前和实施过程中的两阶段工期—费用优化机理；然后，建立了非关键线路上合同项目工期延误的惩罚费用函数，并构建了贯穿于项目群实施前和实施过程中的两阶段工期—费用优化模型；最后，结合南水北调某X项目群对比了不同工期—费用优化下的结果，推动了项目群多阶段优化研究的发展，进一步完善了项目群优化管理理论。

2 甲供资源约束条件下项目群工期—费用优化机理分析

2.1 项目群的涵义

项目群[20-21]是一系列为适应组织内外部环境而相互联结的合同项目的集群，且各合同项目均以组织的整体战略目标为基础，即项目群全局目标的实现有赖于各合同项目局部目标的统筹协调。其中，“全局目标”是指各合同项目的功能性目标以及围绕着该合同项目功能展开的管理或控制性目标，如进度、费用、质量、安全等目标。假设项目群包含n个合同项目，按照一定的工艺关系和组织关系，这n个合同项目构成了如图1所示的项目群网络计划图。

图1 项目群网络计划图

2.2 项目群工期—费用优化机理分析

项目群由多个合同项目组成，且承担这些项目的承包商不尽相同，故项目群的责任主体和利益主体呈现多元化。为避免不同的参与主体就材料质量方面扯皮，通常在施工合同中约定由业主负责供应用于工程施工的主要材料(钢筋、水泥等)。

2.2.1 项目群实施前工期—费用优化机理分析

在项目群实施前，业主基于各合同项目的进度目标，结合其资源需求计划，得到项目群的初始网络计划。然而，由于构成项目群的各合同项目是在一定逻辑关系下存在着资源竞争和工期冲突等矛盾的联合体，且这一矛盾在平行工作的合同项目间尤为突出，故在甲供资源约束条件下，项目群的初始网络计划往往不能使业主支付款净现值最小。此时，为实现对项目群初始网络计划的工期—费用优化，就不得不利用非关键线路上合同项目的自由时差和总时差，在资源限量条件下合理调度某些合同项目的起始时间。

2.2.2 项目群实施过程中工期—费用优化机理分析

在项目群实施过程中，受违约、不可抗力等不确定性因素的影响，某些合同项目可能会发生工期延误[4]，连带着其紧后及后续合同项目也受到牵连；若不慎恰巧危及至关键线路上的合同项目，那项目群总工期也随之发生改变。这将打破项目群实施前的平衡状态，即优化后的项目群网络计划无法再继续实现业主净支付费用的最小化这一目标。此时，为使实施前优化后的网络计划仍能达到项目群的费用目标，就需要适当地压缩非关键线路上合同项目的工期，在工期约束条件下合理调度各合同项目的起始时间。综上，除费用目标存在差异外，项目群实施过程中的工期—费用优化原理与实施前基本相同。

2.3 问题描述

在一个由n个合同项目构成的项目群中，记Pi为合同项目i的紧前项目集，Si为合同项目i的紧后项目集。由此，在满足各合同项目的优先关系约束下，依据各合同项目的持续时间长短绘制出项目群的初始时标网络计划，如图2所示。

图2 项目群初始时标网络计划

假定业主方提供的资源包括K种柔性资源和多种固定资源。在这K种柔性资源中，rik表示第i(i∈1,2,…,n个合同项目在单位时间内对第k(k∈1,2,…K)种柔性资源的需求量，Rk表示单位时间内第k(k∈1,2,…,K)种柔性资源的可用量。为了不失一般性，设合同项目i可顺利实施，即合同项目i(i∈1,2,…,n)满足：

rikRk,i∈1,2,…,n;k∈1,2,…,K

综上所述，本文所研究的问题是在满足优先关系和甲供资源约束条件下，以业主支付款净现值最小化为目标，分别就项目群实施前和实施过程中这两种情况对项目群初始网络计划进行工期—费用优化。

3 基本假设与符号说明

3.1 模型构建思路

根据项目群管理理论，不同合同项目之间因其内部复杂的逻辑关系而存在对同种资源的竞争和冲突[23]。在项目群实施前，为实现业主支付价款的净现值最小，通过调节各合同项目的开始时间以满足资源限量的要求；在项目群实施过程中，一旦某些合同项目出现工期延误的情况，必将对紧后及后续的合同项目或整个项目群产生影响。此时，为实现业主支付价款净现值最小，通过压缩非关键线路上合同项目的工期来满足资源限量的要求。基于此，本文首先对项目群的初始网络计划进行工期—费用优化，然后再对优化后的网络计划进行工期—费用调整，以实现贯穿于项目群实施前和实施过程中的两阶段工期—费用优化。因而，本文所讨论的业主支付价款不仅涵盖了项目群执行过程中所需的直接工程费用、间接工程费用和材料价款，还囊括了因某一合同项目工期延误而产生的惩罚费用[24]。

3.2 假设条件

(1)项目群中各合同项目之间的优先顺序和逻辑关系保持不变；

(2)项目群总工期固定不变；

(3)项目群两阶段的甲供资源约束条件相同。

3.3 符号说明

(1)ESi、EFi、LSi和LFi：分别为第i个合同项目的最早开始时间、最早结束时间、最迟开始时间和最迟结束时间。

(2)TFi和FFi：分别为第i个合同项目的总时差和自由时差。

(3)STi和STj：分别为第i、j个合同项目的开始时间。

(4)di：第i个合同项目的完工时间。

(5)t：非关键线路上第i个合同项目的持续时间。

(6)F1i：项目群中第i个合同项目在执行过程中耗用的直接工程费。

(7)F3：压缩项目群中非关键线路上合同项目的工期所需增加的费用。

(8)Q：材料价款。

(9)f(Ti)：非关键线路上第i个合同项目工期延误Ti后产生的惩罚费用。

(10)b：工程间接费率。

(11)n-m：非关键线路上的合同项目个数。

(12)q：非关键线路上产生工期延误的合同项目个数。

4 甲供资源约束条件下项目群工期—费用优化模型的构建

根据项目群工期—费用优化原理和模型构建思路，分别构建项目群实施前和实施过程中甲供资源约束条件下的工期—费用优化模型。

4.1 项目群实施前的工期—费用优化模型

S.T.STj-STi≥dii∈Pj

rik≤Rki=1,2,…,n;k=1,2,…,K

di≥0 ∀i=1,2,…,n

4.2 项目群实施过程中的工期—费用优化模型

4.2.1 项目群实施过程净现值与约束条件

S.T.STj-STi≥dii∈Pj

rik≤Rki=1,2,…,n;k=1,2,…,K

di≥0 ∀i=1,2,…,n

4.2.2 非关键线路上合同项目i工期延误的惩罚费用函数(f(Ti))

在项目群实施过程中，受违约、合同变更等不确定性因素的影响，合同项目可能会发生工期延误。此时，为保证实施前优化后的网络计划仍能满足业主的费用目标，则需要业主适当压缩非关键线路上合同项目的工期以实现对项目群网络计划的动态调整，并向相应的责任主体提出一定的惩罚费用。为此，在构建项目群实施过程中的工期—费用优化模型前，应先分析非关键线路上合同项目的实际延误时间与自由时差、总时差之间的关系[25-26]，建立项目群视角下非关键线路上合同项目工期延误的惩罚费用函数。

假设项目群中非关键线路上第i个合同项目工期延误Ti，试分析其与本项目的自由时差和总时差的关系，由此明确该项目工期延误Ti后可能产生的影响。

(1)当0

(2)当FFi

(3)当Ti>TFi时，延误时间Ti超出合同项目i自身的最大机动时间。在此情形下，工期延误对项目群总工期产生影响。

基于上述三种情形的分析，建立非关键线路上合同项目i工期延误Ti的惩罚费用函数如下：

式中：f(Ti)—第i个合同项目延误Ti时间后的惩罚费用函数；Wi—业主就合同项目i对本合同项目带来的工期延误向承包商提出的惩罚费用；Wi+j—业主就合同项目i给紧后及后续项目带来的工期延误向承包商提出的惩罚费用；Wt—业主就合同项目i给整个项目群带来的工期延误向承包商提出的惩罚费用。

5 案例分析

5.1 案例背景

本案例为南水北调工程X项目群，X项目群由17个合同项目组成，分别为土建施工项目(A)、设备安装项目(B)、水泵及其附属设备项目(C)、电机及其附属设备项目(D)、主变压器项目(E)、管理所房屋工程项目(F)、桥式起重机制造项目(G)、清污设备制造项目(H)、11kv及以下电气成套设电缆项目(I)、GIS组合开关项目(J)、淮阳公路桥项目(K)、视频监视系统项目(L)、10kv及以下电气成套设备设电缆项目(M)、高压/低压成套设备项目(N)、房屋建筑装饰工程项目(O)、管理所环境绿化工程项目(P)、微机监控项目(Q)。因其工程量大，涉及的合同项目多，且施工周期长，故业主对该项目群X中的17个合同项目进行统一管理，并自行组织采购材料用于建设实施过程中。假设项目群X中业主提供的资源包括1种柔性资源和若干种固定资源，且已知该柔性资源在单位时间内的可用量为12/d。X项目群合同总价款为12000万元，工程间接费率b=0.18万元/天，资金折现率α=0.21%，同时规定业主按月向承包商支付工程价款。本文以南水北调工程X项目群为典型案例，对其初始网络计划进行项目群实施前和实施过程中的两阶段工期—费用优化，并对优化结果进行对比分析。项目群X的初始网络计划如图3所示，各合同项目占用的工期、资源和费用等见表1。

图3 项目群X的初始网络计划

表1 项目群X中各合同项目的工期、资源、费用等参数

5.2 工期—费用优化

5.2.1 项目群实施前的工期—费用优化

在X项目群实施前，为实现业主支付价款的净现值最小，常常需要调节计划中各合同项目投入工作的开始时间以此来满足资源限量的要求。即在甲供资源约束条件下，以X项目群的初始网络计划和资源需求曲线为底，逐时段检查X项目群中若干个并行工作的合同项目对第k种柔性资源的使用量是否超过单位时间内该种资源的限量。若某一时段内各并行工作的合同项目不能再继续满足X项目群的资源约束条件，则往往按总时差由小到大的顺序累计该时段内各合同项目的资源强度，将总时差较大的超过单位时间内资源限量部分的合同项目向后推移。其中，在各合同项目不允许间断作业的假定条件下，前一时段内已经开始工作的合同项目应优先累计。综上，在甲供资源约束条件下对项目群X的初始网络计划进行初步优化，得到实施前优化后的网络计划，如图4所示。

图4 实施前初步优化后的项目群X的网络计划

经计算，X项目群的总工期为60个月，业主需支付的费用净现值为12137.42万元，关键线路为A-E-J-I-M-P，即土建施工项目—主变压器项目—GIS组合开关项目—11kv及以下电气成套设电缆项目—10kv及以下电气成套设备设电缆项目—管理所环境绿化工程项目。

5.2.2 项目群实施过程中的工期—费用优化

已知非关键线路上共有3个合同项目发生延误，其中管理所房屋工程项目(F)实际延误时间小于其自由时差，即该合同项目的工期延误仅对自身的起始时间产生影响；水泵及其附属设备项目(C)的实际延误时间介于其自由时差和总时差之间，即该合同项目的工期延误将同时对自身及紧后合同项目的起始时间产生影响；房屋建筑装饰工程项目(O)的实际延误时间大于其总时差，即该合同项目的工期延误将使项目群总工期延长。基于此，对南水北调工程某X项目群实施前优化后的网络计划进行动态调整，由此得到了进一步优化后的项目群时标网络计划和资源曲线图，如图5所示。

图5 实施过程中调整后的项目群X的网络计划

综上，本文以涉及多个承包商，涵盖多个合同项目的大型复杂工程—南水北调工程项目为案例，分析了甲供资源约束条件下的项目群工期—费用优化，构建了贯穿于项目群实施前和实施过程的两阶段工期—费用优化模型，有助于更好地帮助承包商协调各合同项目间的优先关系，有利于业主实现项目群的费用目标，且有益于项目经理确定各合同项目的起始时间。

5.3 结果分析

(1)在X项目群实施前，X项目群初始网络的总工期为60个月，优化前业主需要支付的费用净现值为13609.59 万元；在X项目群优化后，X项目群的总工期仍为60个月，业主需支付的费用净现值则为12137.42万元，在X项目群的总工期不变的情况下，业主需要支付的费用净现值下降 12.13%。

(2)在X项目群实施过程中，因管理所房屋工程项目(F)、水泵及其附属设备项目(C)、房屋建筑装饰工程项目(O)等合同项目发生工期延误，为保证项目群X在实施过程中仍能达到项目群的整体费用目标，需在工期和甲供资源的双重约束条件下，对项目群实施前优化后的网络计划进行动态调整。经过调整后，项目群X的总工期保持不变，仍为60个月，业主需支付合同款净现值减少为12096.3万元，相比原来的12137.42万元，业主支付的费用净现值不但没有增加，反而下降了0.34%，实现了X项目群两阶段费用优化的目的。

6 结语

(1)与单项目工期—费用优化相比，甲供资源约束下的项目群工期—费用优化涉及多个利益主体和责任主体，情况复杂。为此，项目群工期—费用优化需要考虑各合同项目之间的关系。即当项目群中某一合同项目工期延误导致突破资源供应强度时，不仅要考虑到该合同项目工期延误对自身工期的影响，而且不能忽略其对紧后及后续合同项目，甚至是项目群总工期的影响。

(2)在X项目群实施过程中，考虑甲供资源和工期的双重约束，业主支付合同价款的净现值不仅要包括项目群实施前业主需支付的费用，还应考虑因某些合同项目工期延误而带来的惩罚费用，同时也应涵盖因非关键线路上的合同项目工期压缩而增加的费用。

(3)甲供资源约束条件下的项目群两阶段工期—费用优化不仅可以保证既定的工期目标得以实现，还能控制业主的费用支出，达到既定的费用目标。