布鲁纳学科结构理论对小学平面图形面积教学的启示

王立新

关于小学平面图形面积教学，我对北师大版教材从教材内容、课标要求、教学方法、直观模型四个维度进行了梳理，发现：分别在三、五、六年级分三个年段完成由直边到曲边的平面图形面积教学。特别是在三年级第二学期学生解决长正方形面积之后，要经过一年的时间，到五年级第二学期再来研究其他平面图形的面积问题。这样的内容安排给教学带来一个问题：教师应该树立怎样的系统教学理念，使学生减少由于时间问题造成的认知断层，从而帮助学生建立有系统、有层次的认知结构，更好地提升学生的数学素养呢？

我阅读了关于布鲁纳学科理论方面的研究，发现了布鲁纳学科结构理论。布鲁纳认为“不论我们选教什么学科，务必使学生理解学科的基本结构”。学科的基本结构是指学科的基本概念和原理之间的那种具有内在联系并起普遍作用的知识。在各个学科或各个课题的学习中，儿童的认知一般都要经历“行为把握—图像把握—符号把握”这样一个发现学习的过程，由简单到复杂，螺旋上升。布鲁纳提倡将学科的基本结构放在编写教材和设计课程的中心地位。布鲁纳的结构主义教学观和发现法教学模式是其教学思想的核心。

我们必须以辩证的态度审视学科结构主义理论和发现法教学模式的优缺点。我认为，教学结构化应该包括两个维度：教材维度——把相同内容、相同结构、体现相同思想方法的零散的教学内容进行整合（内容、方法），即教材路径；学生维度——关注学生认知结构，即学习路径。平面图形面积教学有效性学习的途径之一，即将教材的教学路径和学生的学习路径努力做到有效融合。为此，教材的梳理和学情的分析必不可少。

一、教材梳理与学情分析

1.梳理基于教材的教学路径

小学生学习平面图形一般通过两个维度，一是形状，二是大小（周长和面积）。

就图形的形状而言，教材编排上，从低段、中段到高段，经历了从整体到局部再到整体的过程。一上整体认识立体图形，一下通过将立体图形的面“留在纸上”的活动，从整体上认识平面图形的形状。四上认识线段，四下通过观察、画一画、折一折、量一量等操作活动进一步探索三角形三边及内角的关系，六上认识圆，六下学习圆柱、圆锥，又回到了体——经历了从立体到平面再到立体的过程。

就图形的大小而言，三上学习长方形、正方形的周长，三下学习长方形、正方形的面积，五下利用转化的思想，推导平行四边形的面积公式，同时通过两个形状完全相同的三角形拼成平行四边形的过程，用旧知解决三角形面积的新问题，梯形面积公式的推导亦是如此。学生在中段学习长正方形面积时，借助面积单位的产生，通过数面积单位的个数，解决了长方形、正方形的面积问题。到了高段，学生开始学习平行四边形、三角形、梯形面积，甚至到了六年级，学生学习圆面积时，更多地注重了数学方法转化的运用，而对于学生已经积累的数面积单位的经验运用得不够，学习过程中思维跳跃性显著。如何利用学生已经建立的数面积单位的结构化意识帮助学生突破难点，自主构建转化的数学方法，值得研究。

我梳理了北师大版教材，五年级下学期利用5课时完成平面图形的面积教学，即比较图形的面积、认识高、平行四边形的面积、三角形面积、梯形面积。教材呈现出的教学路径为：整体感知转化思想（数方格、重叠、平移、旋转、割补）——集中学习数学关键元素：底和高——三次转化思想的应用（平行四边形、三角形、梯形）。看到教材提供的路径，我想到两个问题：（1）学生从已具备的长方形、正方形面积的知识经验到探究平行四边形的面积，支撑他行走的依据是什么？（2）测量面积大小的方法核心有两个。一是确定面积单位，二是数面积单位的个数。这也是探索平面图形面积的一种结构化。学生在经历学习长方形、正方形面积以后是否已具备这种结构化？我认为：学生是否具备这种结构化是进一步学习其他平面图形的基础。带着这样的一种思考，我进行了学生调研。

2.梳理基于调研的学习路径

分别选取海淀区第二实验小学四、五年级各一个班的学生进行调研。调研题目——四年级：长正方形面积的计算方法，你知道这样计算的道理吗？五年级：（1）长正方形面积的计算方法，你知道这样计算的道理吗？（2）你打算怎样计算平行四边形的面积？请写出计算过程。

五年级比四年级多了一个题目，主要是想了解四年级、五年级的学生针对面积测量的结构化是否存在差异，这种结构化的缺失带给五年级学生探究平行四边形面积的障碍是什么。通過调研数据，可以看出学生探究平面图形面积的学习路径：学生在中段学习长方形、正方形面积之后，进入高段进一步学习平面图形的面积时，近80%的学生具有转化的思想，原因主要是长方形和平行四边形的特征类似，而且长方形面积的计算方法学生是知道的。而学生学习本内容的难点在于：（1）将平行四边形转化成怎样的长方形更合理（分割法、添补法、割补法）。（2）学生关注不到转化前后两个图形之间的关系。（3）还有的学生采用邻边相乘的办法解决平行四边形的面积问题，学生缺少面积度量的本质思考。

二、寻找教材路径与学习路径的结合点

通过教材梳理和学情调研不难发现，教材提供的路径与学习路径的结合点，就是如何借助80%的学生已建立的转化思想，在学生已具备的长方形、正方形面积经验的基础上，构建适合学生学习的平面图形面积问题的基本结构，正如布鲁纳所谈的那样，一个能够统领平面图形面积问题解决的基本规律，能够让学生通过发现学习法做到融会贯通。为此，我对5课时的教学内容进行了结构化处理。以长方形与平行四边形类比学习为切入点，将平行四边形、三角形、梯形面积问题解决中涉及相同的过程和方法进行结构化，在学生已建立长方形、正方形面积经验的基础上，自主建构利用转化法以旧带新解决平面图形面积的思维结构。将原来的5课时整合为3课时：1.以长方形与平行四边形类比学习为切入点，整体感悟利用转化法解决平面图形面积问题的策略；2.三角形面积问题解决；3.梯形面积问题解决。

三、设计结合教材及学情的教学结构

教学结构分为四个部分。

一是回顾长正方形面积的计算方法，突出面积单位的作用。

二是创设现实生活情境：平行四边形的停车位如何计算面积？学生利用平行四边形与长方形的相同特征，选取平行四边形进行研究。主要体现三种方法：1.使用面积单位度量。2.邻边相乘。3.通过分割、添补、割补法制造长方形。

三是针对方法深入探讨：1.使用面积单位度量，存在局限性。2.邻边相乘，通过直观模型验证这种方法是错误的，同时进一步与转化方法进行对比，巩固转化方法。3.针对学生制造出的三种不同的长方形，引导学生思考制造出的哪种长方形更合理，同时关注转化前后图形之间的关系。

四是转化方法的进一步应用。同学之间交流转化思想带来的进一步启示，学生会受到启发，联想到正多边形面积、圆面积是不是也可以通过转化成已学习过的图形进行解决等。

四、体现平面图形面积结构化的教学设计

教学目标：①度量是解决平面图形面积大小最本质的方法，通过经历数面积单位个数的活动，帮助学生建立结构化的数学意识。②合理把握平面图形面积知识的整体框架，并能系统地设计教学过程，通过分类、质疑、探究等活动，渗透转化的数学思想方法，提高学生数学思维能力、学习能力及问题解决能力。③站在学生的立场上设计教学活动及学生评价，调动学生学习热情，激发学生学习动力，培养团队意识，进而发展学生的数学核心素养。

教学过程如下。

1.回顾长方形面积计算方法及算理

以边长分别为3厘米、5厘米的长方形为例。小结：5×3=15（平方厘米）就是表示有15个1平方厘米的面积单位。设计意图：度量是计算平面图形面积大小最本质的方法，单位是度量的标准，因此，回顾长方形面积的计算方法及算理是结构化教学的开始，也是解决平面图形面积的归宿。

2.创设情境

出示生活中平行四边形车位，要计算平行四边形的面积，你想怎样研究？把思考过程记录下来。

3.以组为单位汇报

汇总学生解决方案：数方格；邻边相乘；转化。

借助面积单位解决问题，重点讨论不满一格如何处理。

利用邻边相乘，同学间进行质疑，利用直观学具证明，将平行四边形拉成长方形过程中长方形面积比平行四边形面积多一条儿。

转化成长方形。第一种：分割。第二种：添补。第三种：割补。

同学间充分讨论：为什么要转化成长方形？转化成怎样的长方形更合理？结论：平行四边形与长方形特征相似；长方形面积计算方法同学们已经掌握，可以以旧带新。第一、第二种转化不彻底，分别有新的图形（三角形）面积不能解决。第三种最简洁、最彻底。

4.每组都经历转化过程（动手剪一剪，贴一贴）

思考：经历转化过程，我们应该关注什么？（平行四边形的底相当于长方形的长；平行四边形的高相当于长方形的宽；关注一下平行四边形的高，在平行四边形中找高；平行四边形的面积等于长方形的面积）另外，教师出示平行四边形另外一组对应的底和高。设计意图：通过深入探究，利用直观手段使学生认识到邻边相乘的错误想法，通过讨论转化成怎样的长方形更合理，引导学生关注转化前后两个图形之间的关系，感悟平面图形面积问题解决的策略。在学生已建立长方形、正方形面积经验的基础上，自主建构利用转化法以旧带新解决平面图形面积的思维结构。

5.转化方法的应用

小结：转化的数学方法给了你什么启发？学生谈到，想通过转化法解决更多平面图形的面积，如圆、正多边形等。设计意图：通过平面图形面积教学的结构化设计，使学生真正掌握了统领平面图形问题解决策略的基本结构，这样就能更好地理解数学本质。

如果教师能够合理把握好数学知识的整体框架，并能结构化地设计教学过程，最终学生得到的不仅是数学“知识链”，更多的是数学思维能力、学习能力的提升，进而发展数学核心素养，思维走向自主建构的结构化，为终身发展奠定坚实的基础。

参考文献

[1]余文森.布魯纳结构主义教学理论评析[J].外国教育研究，1992（3）.

[2]龚孟伟. 布鲁纳学科结构理论述评及对语文课程和教学设计之启示[J].宁波大学学报（教育科学版），2013（5）.

（作者单位：北京市海淀区第二实验小学）

责任编辑：肖佳晓

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