浅谈数学中的标准差在小学教育中的应用

龙锋锋

摘 要：教师在教育工作中，只有掌握了自己的教育对象，才能因材施教，提高教学质量。而要掌握学生情况，就必须经常了解他们各方面，分析他们的心态及存在的问题。这一切都离不开统计知识。标准差与算术平均数一样，是一项十分重要的统计指标。对于“算术平均数”大家较为熟悉，而对“标准差”的概念和它在教育统计中的用途，诸多教师可能并不十分清楚。为此，本文着重介绍标准差在教育统计中几个主要的用途。

关键词：标准差 教育统计 用途

中图分类号：G623.5 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2019）01-0170-02

1 数学中标准差的概念和意义

1.1 数学中标准差的概念

考试的原始成绩属于计量资料，通常选用算术平均数和标准差分别代表集中的趋势和整体的离散程度。也就是说标准差是衡量离散程度的统计量 。所谓离散程度就是指数值间的波动程度。在平常应运中，我们可以用方差、标准差等统计量来衡量离散程度，而标准差是最为完善和科学的。尽管结果较易受两端极值的影响，但由于它能用代数方法运算且受到抽样变动的影响较小，所以标准差反映的离散程度相对于算术平均数还是比较准确的。

标准差也被称为标准偏差，即方差的算术平方根。简单地说，标准差是一组数值的离散程度。一个较大的标准差，代表大部分的数值间的离散程度或数值和平均值之间的差异较大；反之，代表大部分的数值间的离散程度或数值较接近平均值。

标准差是总体各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，也称均方差。

例如：两组数的集合{2，7，9，14}和{6，7，9，10}其平均值都是8，但第二个集合相较于第一个集合具有较小的标准差。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。通过计算可知A、B组的平均数都是70，但A组的标准差为18.71分，B组的标准差为2.37分，說明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来，这就是标准差。

1.2 数学中标准差的意义

标准差是衡量数据离散程度的最好标准。值越大，说明离散程度大，反之，说明数据比较集中，它是统计分析中最常用的差异量数。它具有一个良好的差异量数应具备的条件：准确度高；有公式严密确定；容易计算；适合代数运算；抽样变动影响小。

2 数学中标准差在小学教育中的应用

2.1利用数学中标准差对小学学生学习的稳定性进行评估

例如：小明数学10次测验考试成绩如下：

50 60 65 88 82 95 70 75 93 77

平均数： 75.5（分） 标准差：13.85（分）

通过计算结果可知：该学生的平均分是75.5分，反映该学生学习成绩的一个集中水平。标准差13.85分，反映了该同学每次考试与一般水平平均相差13.85分，说明该生成绩不是很稳定。那么该同学就可以认真分析一下导致成绩不稳定的原因在哪里。这样学生不紧学会了知识，还可以将所学用于自身实践，利于提高学生的学习兴趣。同时老师也可以根据标准差来分析学生学校情况的稳定性，从而关注学生的学习情况及引起学习变动的其他方面，以便更加了解学生，找出原因提高学生的学习成绩。

2.2 教师利用数学中标准差可以比较不同班级学生成绩的差异程度

例1：甲、乙两班分别有10名同学，某次考试中：甲班学生平均成绩80分，乙班学生的平均成绩是80分，甲班学生标准差为5分，乙班学生标准差为15分。

分析：虽然甲乙两班学生的均分都为80分，但是甲班标准差小于乙班标准差，说明甲班学生之间的学习成绩都差不多，个体差异不是很大，基本接近80分；而乙班学生之间的学习成绩个体差异较大，高分和低分两级分化的情况较明显。两个班的平均数代表性也不同，甲班学生平均成绩代表性要高于乙班平均成绩代表性。上例是甲、乙两班平均数相等，若甲、乙两班平均数不等，比较两班学生成绩离散程度就需要计算标准差系数。

例2：2017年秋期数学期末考试甲班平均分80分，标准差5分；乙班平均分85分，标准差10分。

甲班离散系数： 6.25% 乙班离散系数； 11.76%

计算结果表明：虽然乙班平均成绩比甲班平均成绩高，但是乙班离散系数大于甲班离散系数，则乙班学生平均成绩代表性小于甲班学生平均成绩代表性。乙班学生与学生之间成绩差异较大，高低分两级分化较严重；甲班学生与学生之间的成绩差异不大，整体学的好。如果有专科的知识竞赛，学校可以从乙班学生里选，因为一般均分高，而且有学的特别好的学生存在。

通常，在学校在对教师进行量化考核时有一项就是对成绩的考核，大部分学校只看重平均成绩，却忽略了平均数代表性大小的问题。应该将平均成绩和标志变异指标（通常选用标准差）结合应用。

2.3 利用数学中的标准差对各小学学校成绩进行评估

教育局等上级单位，有时要对各学校成绩进行评估。评估的过程中不可能把所有学校的所有学生成绩拿来调查分析，通常从每个学校随机抽取部分学生的成绩作为样本来调查，这样肯定会存在一定的抽样误差。所以对学校学校成绩的评估除了要看平均成绩，还得结合一下在每个学校进行调查时，产生的抽样误差，反映抽样误差的指标是抽样平均误差。

抽样平均误差是各个样本指标与全及指标之间的平均离差。抽样平均误差实际上是各个样本指标的标准差。

通常，全校学生所有学生的平均成绩用的是以前数据代替，或正式抽样前所进行的试验性调查的数据来代替。

例如：教育局对A、B两所学校学习成绩进行调查，随机从两所学校抽取100名学生进行调查，计算得A校的学习成绩均分为80分，抽样平均误差为7分，B校的学生学习成绩为90分，抽样平均误差为20分。

分析：从平均成绩来看，B校学生学习成绩高，学习较好；从抽样平均误差来看B校的调查结果误差较大一些，调查结果的准确性有所欠缺。所以不能片面的凭平均成绩来评估学校的学校成绩，要结合抽样平均误差来评估。

可见，标准差以不同的形式为我们教育统计展现自己的魅力，只是很多学生、老师并没有意识到它的魅力所在，因而实践应运较少。平均数它反映的是总体中各单位的标志的一般水平，是各单位标志值的一个一般水平，而标准差它是反映总体各单位的标志值之间的差异程度，可以用来衡量一般水平的代表性。二者结合应用最为科学。

2.4 数学中的标准差在教学中的应用

例1：某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下：第一组平均分90，标准差是6 ；第二组平均分是80，标准差是4，每组20人，求全班的平均成绩和标准差？

解：平均分=（90×20+20×80）÷40=85；

第一组的平方和=20×62+20×902=162720；

第二组20人分数的平方和=20×42+20×802=128320；

40人分数的平方和=162720+128320=291040；

这40人的方差=（291040-40×852）÷40=2040=51；

全班标准差=■≈7.1。

例2：甲乙两位教师所教两个班，平均分数均为75分，但教师甲所教班的标准差为12，教师乙所教班的标准差为8，将平均分和标准差分别带入公式求均差分数，则：教师甲的均差分数为Y=X-S=75-12=63，教師乙的均差分数为Y=X-S=75-8=67。

（X：平均数 S：标准差）

由计算结果得出结论：乙教师面向全体学生的教学成绩高于（好于）甲教师。

例3：一个班级中有两个组的学生的数学平均成绩都是75

分，具体如下：甲组 60，65，70，75，80，85，90； 乙组 50，60，70，

75，80，90，100。

虽然这两组学生的平均分相同，但甲组学生的教学成绩标准差较小，程度比较齐，75分的代表性比较大；乙组学生的标准差较大，程度参差不齐，75分的代表性较小。

标准差反映教师教学成绩的离散程度（班学生成绩高低之间的差别程度），平均分相同时，标准差大，表明班学生成绩高低悬殊大。只有不仅平均分数高，而且标准差小时，才能得到较高的均差分数。也就是说，教师要想取得较高的均差分数，除了要努力提高全班学生的学习成绩，提高班平均分之外，还必须认真帮助学困学生，提高他们的成绩，从而降低标准差，真正达到面向全体学生的教学效果。

参考文献：

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