镜像单元周期性固液声子晶体中谐振的研究

席 锋，陈 刚

(1.重庆工商大学 检测控制集成系统重庆市市级工程实验室, 重庆 400067;2.重庆工商大学 计算机科学与信息工程学院，重庆 400067)

0 引言

声子晶体是不同密度的介质周期性交替排布的人工材料。声波在这种周期性结构中传输时，由于Bragg多重散射某些频率的声波因相干相消而成为声子禁带，某些频率的声波因相干相长而形成声子允带，即产生了声子带隙。故利用声子晶体的带隙特性可以有效地控制弹性波的传播[1-10]。声波在固体介质中传播时有P波和S波两种形式，但在理想液体中，由于只能产生容变不能产生切变，故仅传输纵波。文献[7-10]采用传输矩阵法研究了纵波在一维(AB)结构周期声子晶体中的传输特性。但在多层结构中，由于相位因子的累积，传输矩阵的计算结果稳定性较差。因此，本文利用散射矩阵法研究纵波在(ABBA)周期结构固液声子晶体中的传输特性。由于每一个单元都可看成一个谐振腔，周期性(ABBA)结构的声子晶体，相当于多个谐振腔串联。由于腔的谐振作用， 声波在其中的传输特性和新现象，是值得研究的问题。

1 模型及原理

一维镜像周期单元声子晶体，由两种不同的固体介质A和B以ABBA的顺序交替排布形成，介质密度分别为ρ1、ρ2，厚度分别为d1、d2，空间周期d= 2(d1+d2)，结构如图1所示。

图1 镜像单元声子晶体结构

声纵波从端面入射，进入多层介质结构中后，在每层介质中都有前向波和反向波。忽略时间因子，其声压p解为

p=a+exp(-ikz) +b-exp(ikz)

(1)

式中:a+和b-分别为前行波和后行波的幅值，上标“+”和“-”分别为z的正向和反向;k为声波次矢。

弹性波在相邻层的前、后向波的振幅与散射矩阵S联系起来，则

(2)

式中al，bl，al+1和bl+1分别为l和(l+1)层的前、后向波的振幅。另外，al，bl，al+1和bl+1的关系又可由界面转移矩阵表示为

(3)

式中：fl为相位因子，且fl=exp(ikldl)；dl为第l层介质的物理厚度;mij为矩阵中的元素。由式(2)和(3)可得到弹性波在单层介质中的散射矩阵。根据Bloch定理，m(l,l+4)即为一个周期单元中的散射矩阵，由此可得其色散关系。因此，弹性波在整个分层结构中的传输，入射界面和出射界面波的振幅用总的散射矩阵表示为

(4)

其中

(5)

(6)

S21(0,n)=S22(0,n-1)M21S11(0,n)+

S21(0,n-1)

(7)

S22(0,n)=S22(0,n-1)M21S12(0,n)+

S22(0,n-1)M22fn+1

(8)

初始条件S(0,0)=I，(I为单位矩阵)。通过迭代算法，即可得到弹性纵波在该结构中传输的总散射矩阵。在S(0,n)的各元素中，未出现相位因子的累积，故具有很好的数值稳定性。在出射介质中无反射波，即波的反射系数bn=0，由式(5)～(8)可得反射波和透射波的振幅为

an=a0S11(0,n)

(9)

b0=a0S21(0,n)

(10)

式中：a0为入射波振幅；an为透射波振幅；b0为端面反射波振幅。相应地，透射率和反射率为

(11)

(12)

2 带隙结构

声纵波以入射角θ0入射一维固液结构声子晶体(ABBA)N，设周期数N=4，固体介质A层为氧化镁，其密度ρ1= 1 740 kg/m3,纵波波速为c1L=5 790 m/s,横波波速为c1T=3 100 m/s,厚度d1=c1L/(4f0)；液体介质B层为水，其密度ρ2=1 000 kg/m3、波速c2=1 480 m/s、厚度d2=c2/(4f0)；假设入射、出射空间介质也是水。令归一化频率g=f/f0，f为入射纵波的频率，取中心频率f0=100 kHz。

由Bloch定理可得无限周期(ABBA)结构声子晶体的色散关系，其 Bloch波矢(κd)与归一化频率的关系如图2所示。 (ABBA)与(AB)型无限周期结构声子晶体的带隙结构不同，(ABBA)型的带隙宽度只有(AB)型带隙宽度的一半[11]；这使允带中心出现在倍频处，禁带中心呈现在(N-0.5)g处，N为整数。

图2 镜像单元声子晶体的带隙结构

3 传输特性

色散关系反映了声子晶体带隙结构的特征，但还不能反映声纵波在其中的传输规律，而透射谱可以弥补这一不足。由式(9)、(10)可得声纵波以不同入射角进入 (ABBA)4结构的声子晶体中的传输特性。

3.1 正入射传输特性

图3为声纵波正入射时透射率与归一化频率的关系。此时，允带的特性并不完全相同，在奇数倍频允带中出现6条品质因数很高的谐振透射峰，而在偶数倍频处出现5条较弱的谐振透射峰。这一现象可以解释为：由于入射、出射端也为介质B，故在(ABBA)4结构中，介质B有6层，而介质A有5层，谐振峰数与介质层数相对应；在该固液声子晶体中c2

图3 SH波在镜像单元声子晶体中的透射

3.2 斜入射的谐振特性

声纵波以不同角度斜入射该声子晶体中时的透射如图4所示。此时透射谱线没有明显的规律性，但谐振明显增强。在图4(a)中，入射角为10°，奇数倍频附近的谐振峰减少，而偶数倍频附近的谐振显著增强。基频和二倍频处谐振峰频移很小，但三、四倍频附近的谐振峰明显向高频(短波)方向移动。

图4 不同角度斜入射时纵波的透射

声纵波在介质B、A中的传播速度c0

1) 随入射的增大，透射谱宽减小(允带变窄)，谐振透射的振幅减小。

2) 谐振峰均偏离倍频点，向高频方向移动。

3) 入射角大于θc时(见图4(c))，透射谱中的谐振带变窄，且随着频率增加面减小。这表明，此时产生了谐振隧穿效应。当声纵波以25°入射时，低频处仍有一允带，但此时高频谐振消失，仅在0.85g附近出现弱谐振透射(见图4(d))。以此推理，当入射角增大到某一值时，将不再有声纵波透射。

由图4(c)、(d)表明，声纵波以大于临界角入射该声子晶体时，出射端仍有透射波，称此为全反射的隧穿效应。这一现象可由倏逝波解释：在入射端介质B、A的界面上大于临界角入射的纵波，并非完全不能进入介质A中，而是以倏逝波进入介质A约一个波长的深度，称为趋肤深度[13]。由于介质A只有1/4(或1/2)波长厚度，故该倏逝波可以从介质A中透射并继续传播，由于结构的谐振作用，进而从该一维声子晶体中透射，产生了谐振隧穿效应。

4 结束语

本文利用散射矩阵法，研究了一维(ABBA)镜像单元固液体介质周期声子晶体的带隙结构和传输特性。其周期单元(ABBA)的介质厚度是(AB)周期声子晶体的2倍，相反，(ABBA)结构的带隙宽度只有(AB)结构带隙的一半。由于(ABBA)镜像单元自身形成谐振腔，声纵波在介质B中的传播速度小于在介质A中的传播速度，对波有更强的局域作用，从而产生了更强的局域谐振透射峰。进而，当声纵波以大于临界角入射时，在透射谱中形成了强烈的谐振隧穿，这一现象可以用倏逝波的趋肤深度来解释。并且，声缘分波在(ABBA)周期结构中产生的谐振隧穿效应较(AB)周期结构更强烈。但是，即使在全反射条件下，只要透射波中有谐振透射峰，在其低频段都有较强的声纵波透射，这对于低频滤噪、减振都是不利的。