带有卷积非线性项的Kirchhoff方程解的多重性

耿 茜，李宇华

（山西大学数学科学学院，太原 030006）

本文主要考虑的是下列带有卷积非线性项的Kirchhoff方程：

这里a，b＞0。N是给定欧氏空间RN的空间维数。对于任给的 x∈RN＼｛0｝，α∈（0，N），Riesz势函数Iα∶RN＼｛0｝→R定义如下：

在 a＝1，b＝0，N＝3，α＝2，p＝2以及 f＝0的情形下，方程（1）转化为下列著名的 Choquard-Pekar方程：

这类方程有着丰富的物理背景。例如，在文献［1］中，Pekar用此方程的驻波解来描述量子力学中极化子的静态现象。Choquard用它来模拟电子俘获现象以及在经典引力势中耦合的 Schrödinger方程。更多具体成果可以参考文献［2-4］。近几十年来，关于方程（2）解的存在性及其定量性质有着丰富的研究成果。当V＝1时，E.H.Lieb首次在文献［5］中考虑了方程（2）正解的存在性以及唯一性。P-L.Lions在文献［6-7］中得到了正规化解的存在性与多重性。当V是正常数时，V.Moroz和J.Van Schaftingen在文献［8-10］中建立了问题（2）基态解的存在性。然而，之前关于Kirchhoff方程非线性项的研究通常都是多项式的形式，针对带有卷积非线性项的Kirchhoff问题的探索较少。由于 （∫RN｜▽u｜2）Δu的存在，方程（1）不再是逐点成立的等式，这无疑增加了问题的难度。本文的主要目的：首先，克服非局部项与卷积非线性项之间的相互干扰；其次，解决由于两项非线性项次数的不同在利用Fountain定理时产生的困难；最后，探究方程（1）的解是否具有多重性。由于卷积非线性项与通常的多项式非线性项不同，本文在研究方法上有了一定的创新。

（f1）f∈C（RN×R，R）且对于任意的 u∈R，x∈RN，均存在常数 C1＞0，q∈（2，2*）使得

（f2）当｜u｜→0时，f（x，u）＝o（｜u｜）关于 x∈RN一致成立。

（f3）存在 θ＞4使得对任给的 x∈RN，u∈R＼｛0｝均有 0＜θF（x，u）≤uf（x，u）。

（f4）对于任意的 x∈RN，u∈R＼｛0｝满足f（x，-u）＝-f（x，u）。

主要结果如下：

定理1 假设条件（f1）-（f4）成立，V∈C（RN，［0，＋∞）），如 果 p∈而 且（x）＞0，｜xl｜i→m∞V（x）＝＋∞。则方程（1）具有一个无界的高能量解序列。

1 预备工作

首先给出Hilbert空间：

由定理1中关于势函数V的假设，文献［11］证明了 E紧嵌入到 Lr（RN），r∈［2，6）。设｛en｝是特征问题-aΔu＋V（x）u＝λu的特征函数，那么 λ1＝‖u‖2＞0。容易证明对应于不同特征值的特征函数在L2（RN）中是正交的。又因为对任何的 ei，ej，i≠j，都有（ei，ej）＝λi（ei，ej）2＝0。所以｛ei｝在 E中是正交的。不妨假设｜｜en｜｜＝1，n∈N。设 u∈E，而且（en，u）＝0，n∈N，则从（en，u）＝λn（en，u）2推出（en，u）2＝0，n∈N，而且 u＝0，因此｛en｝是 E中的一组基。设 En＝Ren，n∈N，则令

在E中定义方程（1）的能量泛函J∶E→R

本文不同行之间 C、C1、C2、C3、Cε定义可能为不相同的正常数。｜·｜p表示通常的 Lp（RN）中的范数，（·，·）2表示 L2（RN）中对应的内积。为了建立变分结构，具体给出下列 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，而且根据Hardy-Littlewood-Sobolev不等式以及Nemystkii算子可知能量泛函J定义是合理的，一阶连续可微的。

2 主要引理

引理 1［12］假设 t，r＞1，f∈Lt（RN），h∈Lr（RN）满足1／t＋1／r＋（N-α）／N＝2。则存在正常数C与f、h无关，使得

引理2 如果 p∈［2，2*），k→ ＋∞，则 βksupu∈Zk，‖u‖＝1｜u。

证明 因为 0＜βk＋1≤βk，所以 βk→β≥0。又对每一个 k∈N，存在 uk∈Zk，｜｜uk｜｜＝1使得｜uk｜p＞βk／2。根据 Zk的定义，在 E中 uk⇀0。于是，根据 Sobolev嵌入定理，在 Lp（RN）中 uk→0。因此，β＝0。

引理3［13］设 J∈C1（E，R）满足 J（-u）＝J（u），并且对于任意的 k∈N，存在 ρk＞γk＞0使得：

（A1）ak（u）≤0；（A2）当 k→时，bk（u）→ ＋∞；（A3）对任意的c＞0，J均满足（PS）c条件，则 J具有一列无界的临界值。

引理4 假设定理1的条件成立，对任意的c＞0，J均满足（PS）c条件。

证明 任给c＞0，假设｛un｝是能量泛函J的一个（PS）c序列，即当n→∞时

则｛un｝在E上有界。事实上，由条件（f3）可知

因此得到｛un｝的子列仍记作｛un｝，在 E上满足un⇀u。文献［14］借助于Stein-Weiss不等式和半群等式得到 Riesz势函数 Iα＝Iα／2*Iα／2。则

通过文献［15］Proposition 2.2可知 K′：E→E*是弱连续的。从而

而且根据条件（f1）、（f2）以及 Hölder不等式有

因此当n→∞时，‖un-u‖→0。

3 定理1的证明

证明 当 u∈Yk，根据条件（f2）～（f4），任给x∈RN，u∈R，存在常数 C2＞0，C3＞0，使得

根据式（5）可得

由于Yk是有限维空间，进而Yk上的范数是等价的。因此，存在 ρk＞γk＞0。使得当‖u‖ ＝ρk，ρk充分大时条件（A1）成立。

当 u∈Zk，根据条件（f1）、（f2）可知对于任意的 ε＞0，存在 Cε＞0，使得

再根据引理2可知当k→＋∞时，βk→0。而且

同理由引理2可知，如果 p∈［2，2*），k→ ＋∞，则αk→0。且

于是条件（A2）成立，所以根据引理3可知结论成立。