余弦定理 不得不知的奥秘

福建省德化第一中学 (邮编：362500)

1 乘法公式价值高，模型构造威力显

观察角A的余弦公式，发现分子为b2+c2-a2，变形可得(b+c)2-a2-2bc，由此可利用乘法公式设计构造出平方差公式，再变形构造出余弦公式.命题者不仅可以考查学生是否能够熟练掌握公式，还可考查学生变形构造公式的能力.

例1已知：在△ABC,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，(sinB+sinC-sinA)(sinB+sinC+sinA)=sinBsinC，求角A的余弦值？

解析利用正弦定理将角转化为边可得：(b+c-a)(b+c+a)=bc.

利用平方差公式可得：(b+c)2-a2=bc即b2+c2-a2=-bc.

2 平方关系真给力，夹角范围确定易

观察角A的余弦公式，发现分子为b2+c2-a2，比较分子与0的大小，可得：

当b2+c2>a2时，cosA>0，此时角A为锐角；

当b2+c2=a2时，cosA=0，此时角A为直角；

当b2+c2

命题者不仅可以利用三边平方的大小关系来判断角的范围，还可进一步用来确定三角形的形状.

例2在非等边△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a为最大边，如果sin2(B+C)

解析由于sin(B+C)=sin(π-A)=sinA，

所以sin2(B+C)

由正弦得：a20，

又因为△ABC非等边，且a为最大边，所以A>60°，

则有60°

3 周长面积“影子”现，相互依存和谐见

(1)求cosB；

(2)若a+c=6，三角形的面积为2，求b.

(四)在国内产能过剩的情况下，中国光伏“走出去”的步伐将进一步加快，以产融结合、厂商租赁等模式将产能向西方国家以及“一带一路”沿线国家转移，将成为中国未来光伏产业持续健康发展的现实选择。

所以sinB=4(1-cosB)，

又sin2B+cos2B=1，

整理得17cos2B-32cosB+15=0，

解得b2=4,即b=2.

(2)当三角形的周长为6，求其面积.

(2)由于三角形的周长为6，且b=2，所以

4 和、积合作有情意，两根关系来设计

例5△ABC内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知三角形的两边a、b为一元二次方程的x2-3x+1=0的两个根且夹角C为60o，求三角形的周长.

解析由a、b为一元二次方程的x2-3x+1=0的两个根，可得a+b=3,ab=1，

5 加法乘法巧联系，最值获取最省力

解析由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得(a+b)2-c2=ab，则有a2+b2-3=-ab，

即3-ab=a2+b2.

由基本不等式可得：3-ab=a2+b2≥2ab,得ab≤1(当且仅当a=b取等号).

当ab取得最大值1时，

(1)求角A；

得2sinCcosA=sin(A+B)=sin(π-C)=sinC，

利用余弦定理丰富的内涵为命题者提供各种各样的设计思路，学生也可从命题设计的思路来对定理的学习与研究，丰富自已的解题经验和发展自已的思维.