基于混沌理论的音乐信号非线性特征研究

2019-02-21赵志成方力先

振动与冲击 2019年3期

赵志成, 方力先

(杭州电子科技大学，杭州 310018)

音乐是反映人类现实生活情感的一门艺术，能够唤起情感上的共鸣。当听觉系统接受音乐刺激时，都会短时提高一部分特定神经细胞的兴奋性，影响到情绪表达[1]。这个过程必然会影响人体内分泌，促使人体产生一些激素或者酶。理论上，若能通过特定音乐刺激，促使人体产生一些有益的激素或者酶，则可达到加强新陈代谢，增强人体免疫力等对人体有益的效果。音乐的这种奇特功能是由音乐信号本身特征所决定的。

传统的音乐物理学基本上是从线性的角度去分析的，但真实的音乐系统一定是一个时滞的非线性动力系统[2]。非线性的来源有媒质中的黏滞性、非线性阻尼、热传导、弛豫现象和非局域性等等。而时滞系统往往具有多自由度、高维度特性，在系统的演化过程中，会伴随着弱混沌现象[3]的产生。因此，应用非线性的科学思想及方法对音乐信号进行研究，论证音乐信号的混沌机制，揭示音乐信号的本质规律并掌握信号的非线性特征[4]，能够更好的帮助我们应用音乐信号治疗疾病，特别是神经系统疾病。

钢琴曲自产生以来一直被誉为最有逻辑，最能打动人心的高雅艺术之一，从某种意义上它最能反映人的情感变化。本文选择不同风格的钢琴曲以及Disco乐曲，经“分帧”、分析功率谱、计算Lyapunov指数、计算关联维数等步骤，从非线性的角度论证了音乐信号的特性，分析了不同风格类型音乐信号的非线性特征变化。

1 音乐信号的非线性特征分析

音乐信号是一类非稳态的非线性信号，混沌理论是分析非线性信号的有效方法，其中常用的分析方法有：分析Lyapunov指数[5]、分形理论[6]、熵理论[7]等。

1.1 分形维数

分形是非线性动力学系统的一个重要的分支，研究的对象具有自仿射性或者自相似性，反应了事物本身所固有的结构特征。按照分形理论，分形内部任何一个相对独立的部分，在一定程度上都是整体的再现与缩影。

分析时间序列常采用关联维数计算方法，它是在Token的“嵌入理论”以及Packard相空间重构理论基础上提出来的一种算法，又称为G.P算法[8]。算法的原理是在m维相空间内嵌入一个一维序列得到点集，序列的长度为n。用关联积分来表示吸引子中的点之间距离分布的概率，并求出关联维数的最佳估计。

相空间重构[9]:设嵌入序列的值为N，选取恰当的时间延迟τ，则相空间中的向量为：

Xi=[xi,xi+1,…,xi+(m-1)τ]2

(1)

式中：i=1,2,…,N,N=n-(m-1)τ,n为原时间序列;m为嵌入维数，通过上面的方法构造出N个m维矢量，当m≥2d+1时，吸引子的几个特征可以由这些矢量在相空间中的轨迹特征描述。

G.P.算法定义如下：取一维序列中的数据构成相空间中的m维向量将向量依次向后移动(取整数且为采样间隔)，构成m维相空间中的另一个向量。以固定间隔向右依次移动便得到拓展而来的相空间中的点集{xi}i=1,2,…,N，其中N=n-(m-1)τ是点集中点的数量。

在相空间的点集中任取一点作为参考点，统计剩余点集中有多少点落在以该点为中心，以r为半径的圆中，由此而得到关联积分：

(2)

式中：H(·)为Heaviside单位函数。假设dmax是吸引子中的最大伸展量，当r≥dmax时有：

(3)

当N→∞时，C(m)≈1。关联积分表示吸引子中点与点之间距离的概率函数：

(4)

式中：D2(m,r)是与m及r有关的常数。对于相距距离很小的r1和r2有：

(5)

对上式两边同时取对数，有：

lnCm(r2)-lnCm(r1)=

(6)

当|r1-r2|很小时，有D2(m,r2)≈D2(m,r1)。所以，由上式得：

(7)

因此，计算关联积分饱和状态下曲线的线性段斜率，即可作为关联维数的近似值。

时间延迟的选择：根据文献经验，时间延迟τ=15左右时，可得到的关联维数最为清晰，且干扰误差小。为了验证这一观点，在采样频率为44 100 Hz的条件下，截取钢琴曲《For Elise》中的一小段音乐，利用平均位移法[10]进行实验。根据平均位移法的原理，在给定嵌入维数m=15，20，30的情况下，对时间延迟τ由小到大取值，重构相空间后计算每一个τ处的平均位移量S(τ)。

(8)

当S(τ)的增长率下降到初始值的40%时，该点对应的τ即为最优时间延迟。并且采用平均位移法可有效消除噪声的影响。如下图1所示。分析结果发现当时间延迟为15和16时S(τ)的增长率下降到初始值的40%附近，即时间延迟取值较为理想，所以后续实验计算均在时间延迟τ=15的条件下进行。

图1 平均位移量的增长率曲线

1.2 Lyapunov指数

Lyapunov指数是非线性动力学系统中一个重要的参数，代表了相空间中相邻轨道发散或者收敛的情况，是衡量系统非线性特征的一个重要指标。

对于一维离散映射：

xn+1=F(xn)

(9)

假设平均每次迭代所引起的指数分离中的指数为λ，于是原来相距为ε的两个起始点经过n次迭代后相距为

εenλ(x0)=Fn(x0+ε)-Fn(x0)

(10)

上式取对数求极限，可得：

(11)

称其为Lyapunov指数，代表了大量迭代的平均迭代分离指数。由上式可知，当λ>0时，相邻点运动呈分离趋势，对应于混沌运动；当λ<0时，相邻的点最终会合并成一点，对应于无混沌特征的线性运动。常用Wolf方法[11]计算Lyapunov指数。

2 实验与结果

2.1 实验材料

实验选择了已经通过凯泽窗类型的高通数字滤波器去噪的三首不同风格的钢琴曲与一首Disco乐曲作为主要的分析对象，具体如表1所示。

2.2 音乐信号的“分帧”

通常一首乐曲是一个复杂冗长的音乐信号，对其非线性重构后会是一个庞大的数据量，“分帧”是一个必然的选择。音乐家在作曲时会根据要表达的情感内容选择不同的节律为框架，再将代表了作者思想的乐符序列填入，也就有了曲谱上的小节划分。音乐家在谱写每一小节的乐曲时，必定带着整首曲子的思想，因此，每一小节都会是完整曲目信息片段的映射，不同帧的非线性特征构成了音乐信号的整体特征。所以，按照音乐的小节划分不会破坏整个音乐的非线性特征，通过帧的分析可以把握音乐信号的局部特征和整体特征，同时便于分析与计算[12]。

按照音乐曲式，我们将音乐信号按照曲式中的小节进行划分。如图2所示是致爱丽丝第一乐句中小节的划分，每两个箭头之间代表一个小节。