缠绕式提升系统悬绳横向振动特性的理论与实验研究

彭 霞， 龚宪生， 李济顺， 巫显照

(1.重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆 400044；2.重庆大学 机械工程学院，重庆 400044；3.石河子大学 机电工程学院，新疆 石河子 832003；4.河南科技大学 机电学院，河南 洛阳 471039)

超深矿井提升钢丝绳在多层缠绕时面临的最大问题：随着缠绕层数和提升高度的增加，卷筒与天轮间的钢丝绳(本文称之为悬绳)的横向振动过大而出现乱绳，跳绳等现象，使多层缠绕不能有序进行；多层缠绕钢丝绳在卷筒两侧过渡换层时产生较为剧烈的冲击、磨损并导致乱绳、卡绳而降低钢丝绳寿命。采用具有合适过渡区的平行折线绳槽及层间过渡装置可望解决这一难题。

本文着重研究“合适过渡区的平行折线绳槽”这一重要问题.提出用“提升系统悬绳的横向振动振幅大小”作为钢丝绳多层缠绕平行折线绳槽优劣的评价指标,通过理论推导建立提升系统的动力学方程,建立绳槽过渡区按不同位置布置的激励函数，得到边界激励下悬绳横振响应的数值仿真结果，在此基础上设计实验，通过实验测得“提升系统悬绳的横向振动振幅大小”，并将其与对应的仿真结果进行比较来验证理论模型的正确。

钢丝绳提升系统的振动特性已有学者做了较多研究，主要集中在对高速电梯、摩擦式提升机和缠绕式提升机的研究上。文献[1-5]以高速电梯为研究对象,建立了变长度钢丝绳提升系统振动方程和横纵耦合振动模型，并进行了实验验证。文献[6-7]以摩擦式提升机为研究对象，对钢丝绳的横、纵振规律做了较详尽的理论和实验研究。文献[8-9]以缠绕式提升机为研究对象，基于Hamilton原理,建立并求解了变长度钢丝绳提升系统的横、纵向振动耦合振动方程，主要探讨了在不同的速度激励下，钢丝绳的动态响应规律，但此研究是基于对称绳槽开展的。

对于钢丝绳振动的实验研究，摩擦式提升机和电梯多用加速度计来实现。针对缠绕式提升机悬绳的横向振动的测量做的研究还较少。文献[10]开展了基于机器视觉技术的落地摩擦提升悬绳的横向振动测量，但文中提到的方法并不完全适用于测量缠绕式提升悬绳的横向振动，因为文中测量的落地摩擦式提升机的悬绳没有排绳和换层运动，而缠绕式矿井提升机钢丝绳在多层缠绕时悬绳在绳槽的引导下会发生沿卷筒轴线方向的排绳运动和在层间过渡装置的作用下沿卷筒径向的换层运动，如图1所示。

图1 钢丝绳运动轨迹示意图

因此用传统接触式或非接触式传感器不宜测量缠绕式提升悬绳横振，但是基于机器视觉的非接触式的传感器检测振动，具有不与被测物接触、测量范围宽、不改变被测物的振动特性等优点。

综上所述，本文首先将钢丝绳看作连续的弹性体，建立并求解边界激励下悬绳横向振动方程。然后，根据现有实验台参数制作两种型式绳槽并安装在试验台上，基于文献[10]的测量原理，改进其图像处理方法，用高速工业相机来检测悬绳的横向振动，对比实测结果与数值仿真，验证本文模型的有效性。

1 振动模型的建立与求解

缠绕式钢丝绳提升系统力学模型如图2所示，卷筒缠绕点与天轮间的钢丝绳称之为悬绳，长度用ls表示，天轮与提升容器间的变长度钢丝绳称之为垂绳，用lv(t)表示，钢丝绳总长用L(t)表示。钢丝绳与卷筒的分离处作为固定坐标系oxyz的原点，钢丝绳上任意一点P的弹性变形位置为P′，钢丝绳上l(t)处悬绳的平面内横向振动、平面外横向振动、纵向振动为u[l(t),t]，w[l(t),t],vc[l(t),t],垂绳的纵向振动vv[l(t),t]，取竖直向上为正方向。则负载和绳子的整体纵向速度为：

(1)

图2 矿井提升系统力学模型

本文的模型建立和求解基于以下假设：①忽略井筒内气流对系统阻尼的影响。②忽略钢丝绳的扭振。③忽略垂绳的横向振动。④在天轮处钢丝绳不滑动。⑤钢丝绳的物理参数在运动过程中始终保持恒值。

在l(t)=0处的边界条件为：

u(0,t)=vc(0,t)=w(0,t)=0

(2)

在l(t)=ls处的边界条件：

u(ls,t)=w(ls,t)=0

u,t(ls,t)=w,t(ls,t)=0

(3)

根据Hamilton原理，可得

(4)

式中:T,Ek,Ep,W分别指系统的动能、钢丝绳的弹性应变能、系统的重力势能和虚功。本文假设卷筒提供提升系统运行的全部能量，因此缠绕到卷筒上钢丝绳的这部分动能可以不予考虑，提升系统动能表达式为：

(5)

式中:V是提升容器和钢丝绳的整体纵向速度;ρ表示钢丝绳线密度;Ms表示天轮的惯性质量;Mc表示载荷的质量。系统总势能表达式为：

(6)

式中:Ek,Ep分别指钢丝绳的弹性应变能、系统的重力势能;Ek0为钢丝绳在预张力下的初始应变能;Ep0表示系统在钢丝绳未变形的重力势能。为了更清晰的表述问题，本文作出如下约定:

(7)

根据文献[8]悬绳应变量为：

(8)

垂绳应变量为：

εv=vv,l

(9)

悬绳张力为：

Tc=[Mc+ρ(L(t)-ls)]g

(10)

垂绳张力为：

Tv=[Mc+ρ(L(t)-l(t))]g

(11)

系统阻尼力的虚功为：

(12)

其中δWvc,δWu,δWw,δWvv分别为悬垂绳的横、纵向阻尼力所做虚功，δWs是天轮摩擦力所做虚功，cv,cw,cs分别为钢丝绳纵振、横振阻尼系数和天轮的阻尼系数[13]。微分算子为：

(13)

将式(5)，式(6)和式(12)代入式(4)，经一系列变换运算后系统的运动方程为：

式(14)～(17)表示悬、垂绳在无激励状态下的横、纵耦合的振动方程，式(18)和(19)钢丝绳在l(t)=ls和l(t)=L(t)时的振动方程。

根据文献[8-9]垂绳的纵向振动远小于悬绳的横向振动，考虑到垂绳系统受到的外部干扰较多，天轮具有限位作用，本文主要研究在不同圈间过渡区布局的绳槽激励下，提升系统悬绳横向振动位移响应及其对排绳的影响，故可以暂且忽略悬绳的纵向振动和垂绳的纵向振动，只考虑悬绳的横向振动，即式(15)、(16)。

钢丝绳在卷筒多层缠绕时，卷筒表面安装对称或非对称的平行折线绳槽，会在l(t)=0处产生不同的周期性激励，文献[9]推导了对称绳槽的激励函数，本文改变两过渡区的间隔时间或距离推导得出两过渡区按不同位置布置的位移激励函数：

wi=d/2

(20)

图3 绳槽折线过渡区布置示意图

坐标原点处边界条件变为：

(21)

因此悬绳横振的边界条件变为非齐次，根据文献[13-14]可得：

(22)

式中:u1、w1是满足齐次边界条件部分，u2、w2是不满足齐次边界条件部分。

(23)

因此，悬绳横振的控制方程为：

ρ(V2u1,ll+2Vu1,lt+au1,l+u1,tt)-Tcu1,ll-

EAu1,l(u1,lu1,ll+w1,lw1,ll)=

-ρ(V2u2,ll+2Vu2,lt+au2,l+u2,tt)+Tcu2,ll

(24)

ρ(V2w1,ll+2Vw1,lt+aw1,l+w1,tt)-Tcw1,ll-

EAw1,l(u1,lu1,ll+w1,lw1,ll)=

-ρ(V2w2,ll+2Vw2,lt+aw2,l+w2,tt)+Tcw2,ll

(25)

使用Galerkin方法，将式(24)，(25)无限维偏微分方程转化为有限维的常微分方程。钢丝绳上各点具有相同频率和相位的振动，只是不同位置位移大小随时间变化而变化[6]。因此，钢丝绳上各点随时间变化而变化的位移u1(x,t)和w1(x,t)可以分解为两部分的乘积，即：

(26)

式中:φ(x)表示与时间无关的钢丝绳在空间的形状，p(t),q(t)确定绳上各点随时间变化的规律。根据文献[11-12]悬绳横振的形函数可以设为：

(27)

式中:φ=(φ1,φ2,…,φn)T;p,q是广义坐标向量,并且是时间的函数，且p=(p1,p2,…,pn)T，q=(q1,q2,…,qn)T，将式(26)代入到控制方程(24)和(25)，等式左边乘φ，并将其在l(t)∈[0,ls]内积分，将偏微分方程离散成常微分方程。则控制方程变为：

(28)

其中广义坐标向量

x=[p1,p2,…,pn,q1,q2,…,qn]TM,C,K,F,P

分别为质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和广义力矩阵，广义坐标耦合项。各变量计算式为：

(29)

2 实验验证与数值仿真

2.1 实验目的

钢丝绳在不同型式的绳槽(非对称κ=0.8和对称κ=1)上缠绕，在缠绕点会形成不同的边界激励，悬绳会产生不同的动态响应。通过比较悬绳的横向振动位移响应的数值仿真与实验结果，验证在边界激励下提升系统悬绳横振的振动模型的正确性。经过实验验证有效的振动模型，将为未来设计真正工程实用超深矿井提升样机上平行折线绳槽两过渡区的布置形式提供理论和实验依据。

2.2 实验设计

实验在“国家安全生产洛阳矿山机械检测检验中心”的布莱尔双绳缠绕式提升机试验台进行，试验台基本参数：运行速度为V=1.8 m/s，加速度为a=0.5 m/s2,悬绳长度ls=50.8 m，垂绳长度lv=36 m，卷筒半径Rd=0.4 m，钢丝绳直径d=0.01 m，钢丝绳线密度ρ=0.41 kg/m3，钢丝绳弹性模量E=1.1×1011N/m2，横向阻尼系数cw=0.02，每根钢丝绳负载Mc=1 000 kg。左右卷筒通过齿式联轴器连接，左卷筒下出绳，右卷筒上出绳，即右卷筒提升时左卷筒下放，如图4所示。

图4 试验台布置图

钢丝绳在第一层缠约1圈(其中摩擦圈12圈)，第二层缠13圈，第三层缠1圈左右。提升机的运行由控制台统一控制。对悬绳固定点的横向振动进行检测，测量点为距离钢丝绳与卷筒的切点2 500 mm处。

左卷筒安装的绳槽参数为：对称系数κ=0.8，过渡区圆心角对应弧度γ=0.3 rad，右卷筒安装的绳槽参数为：对称系数κ=1，过渡区圆心角对应弧度γ=0.375 rad，根据式(12)钢丝绳在两种不同型式绳槽缠绕一周形成的位移函数,如图5所示。

2.3 数据采集系统

悬绳的横向振动选用高分辨率的IX-Cameras I-Speed 211型高速工业相机测量，4G内存，1280×1024像素，相机自带控制软件Control2 Series，测量精度可达10-2mm。经计算悬绳横振的前三阶固有频率的最大值为5.007 Hz,所以设置采样频率为60 Hz,见图6。

图5 两种型式绳槽上钢丝绳转动一周的位移函数图

Fig.5 Displacement function graph when the wire rope in different grooves wind a round

图6 数据采集系统布置图

当把相机放在钢丝绳的正下方，背景板置于钢丝绳之上并与两钢丝绳所在平面接近平行，然后调节三脚架云台,使相机镜头与钢丝绳垂直，然后可以测量钢丝绳的平面外横向振动；把相机放在钢丝绳的侧面，调节三脚架使相机与被测点同高，调节三脚架云台使视场内的钢丝绳处于竖直状态，把背景板置于两钢丝绳的中间并使其与地面垂直并与钢丝绳平行，这样就可以测量钢丝绳的平面内振动,如图7所示。

2.4 图像处理

确定被测点为距离钢丝绳与卷筒的切点2 500 mm处，并标记测量点，调整焦距使图像清晰，调整相机三脚架及相机云台使背景板、钢丝绳在相机视场范围内，并使钢丝绳在控制软件的视场中呈竖直位置。否则处理图像时还需校正X、Y方向的分量。使标记点在视场中间部位，拍摄一张照片作为初始位置比例尺的参考照片，此后相机的位置不可移动，如图8所示。

(a) 平面外振动图像采集

(b) 平面内振动图像采集

图8 比例尺相片与被测点相片

对拍摄的每一帧图像二值化，即钢丝绳为1，白背景板为0，找到被测点所在位置，取被测点所在的几行像素，如图9所示。

图9 图像处理原理图

(30)

其中：

(31)

式(31)中λ为比例因子;i为照片帧数，即实际距离与像素距离的比值;fc为采样频率;s0为0时刻对y轴的静矩之和;si为i时刻参考线内所有点对y轴的静矩之和;Ai为i时刻参考线内所有点之和。以后拍摄的每张照片都这样处理，就可以得到标记点在对应方向的振动位移，高速相机测得的原始数据为一系列图像序列，通过这样的图像处理和算法可以得到钢丝绳相对平衡位置的振动位移。

2.5 数值仿真与试验结果对比分析

试验台按照1.8 m/s速度的实际运行曲线如图10所示，图像初次处理的结果是悬绳上固定点测量点处钢丝绳与初始标记位移之间的绝对值，在实验验证时要比较的是悬绳横向振动位移的相对值，因此这些结果还需二次处理成相对位移，处理结果如图12、图14所示。

图11和图13为对称和非对称绳槽激励下悬绳固定点处横振响应的数值仿真结果，在前4 s平面内振动响应(即u向)为零，是因为在仿真时认为钢丝绳在第一层的两圈缠绕半径没变化，即沿卷筒直径方向的激励为0，所以此时悬绳横振的平面内振动响应(即u向)也为0，但是数值仿真时是人为的把横向振动响应分成了平面内和平面外(即u向和w向)两个方向，且忽略了垂绳的纵振。图12和图14的实验测试结果显示前4 s的振动响应不为0，那是因为在实际提升循环中，当钢丝绳提一个重物时，提升开始的加速运动会使钢丝绳变长然后再收缩继而引起垂绳振动，悬绳较长由于重力会有下垂，垂绳振动传递过来时会引发悬绳的横振，因此实测结果前4 s与仿真结果不同。

(a) 提升高度

(b) 提升速度

图11 对称绳槽激励下悬绳横振仿真曲线

图12 对称绳槽激励下悬绳横振实测曲线

对比两种绳槽激励(对称与非对称)下悬绳横振的实验与仿真结果发现：数值仿真与实测曲线振动波形变化趋势非常接近，仿真结果略滞后于试验结果，那是因为仿真时第1层是按缠2圈计算的，而实际因为控制系统等原因第1层实际缠了1圈多一点；试验结果大于仿真结果，可能原因：首先理论推导的边界激励是按照绳槽结构形式求得，而在试验台还有可能因卷筒的不圆度误差，负载两钢丝绳出现张力差等产生激励。其次仿真时忽略了自然风、横纵振耦合等现实情况。

图13 非对称绳槽激励下悬绳横振仿真曲线

图14 非对称绳槽激励下悬绳横振实测曲线

比较图11～14，列出在两种不同绳槽形式下悬绳横振的最大值，如表1所示，仿真和实验结果均显示：非对称绳槽激励下悬绳的横振略小于对称绳槽激励，实验和仿真相吻合。若以“悬绳横振振幅”作为评价平行折线绳槽优劣的指标，仿真和实验结果均显示在本实验台参数下，非对称绳槽优于对称绳槽。

表1不同绳槽激励下悬绳横振的最大值

Tab.1Correlationtableofthemaximumvibrationdisplacementofthecatenaryindifferentasymmetrycoefficient

接下来将从振动频率的角度来分析理论仿真与实验结果。将卷筒安装非对称绳槽时悬绳的平面内(u向)、平面外(w向)振动响应的数值仿真结果进行傅里叶变换得到其频谱图，如图15，图16所示，可得数值仿真前三阶振动响应频率均为：f1=1.444 Hz,f2=2.926 Hz,f3=4.592 Hz。

图15 非对称绳槽悬绳u向振动频谱图(仿真)

Fig.15 Spectrogram for vibration response ofu-direction with asymmetrical grooves (simulation)

图16 非对称绳槽悬绳w向振动频谱图(仿真)

Fig.16 Spectrogram for vibration response ofw-direction with asymmetrical grooves (simulation)

图17 非对称绳槽悬绳u向振动频谱图(实测)

Fig.17 Spectrogram for vibration response ofu-direction with asymmetrical grooves (actual measurement)

将实验测得的卷筒安装非对称绳槽时悬绳的平面内(u向)、平面外(w向)振动响应的试验数据进行滤波处理，滤掉低频信号，消除噪声干扰便于提取振动频率，并经过傅里叶变换得到悬绳振动的频谱图，如图17，图18所示，可得悬绳平面内(u向)振动的前三阶频率分别为f1=1.582 Hz,f2=3.164 Hz,f3=4.746 Hz，悬绳平面外振动(w向)的前三阶频率分别为f1=1.582 Hz,f2=3.047 Hz,f3=4.746 Hz。实测频率与仿真计算的误差最大为8.72%，说明提升系统振动模型和数值计算方法是可靠的。

图18 非对称绳槽悬绳w向振动频谱图(实测)

Fig.18 Spectrogram for vibration response ofw-direction with asymmetrical grooves (actual measurement)

3 结 论

(1) 本文将钢丝绳看作连续的弹性体，运用Hamilton原理建立了边界激励下缠绕式钢丝绳提升系统的振动控制方程。

(2) 以某缠绕式钢丝绳提升试验台的实际运行曲线作为输入，并在该试验台安置高速工业相机检测悬绳的横振，对比实测曲线与仿真结果均显示：在本实验台参数下，对称绳槽激励的悬绳横振大于非对称绳槽布置，若以“悬绳横振振幅”作为评价平行折线绳槽优劣的指标，非对称绳槽优于对称绳槽；悬绳横振的实测曲线与数值仿真变化趋势非常接近，实测频率与计算频率误差最大为8.72%，说明本文建立的边界激励下悬绳的横振模型是有效的。文中所建模型和悬绳横向振动测量方法可为将来超深井提升卷筒绳槽型式的选择提供可靠的理论依据。