导数应用中的常见错误

郭倩

摘 要：导数是我们高中数学学习中非常重要的知识点，通过对导数的学习，不仅能够强化我们的函数学习，而且能够让我们对于数学知识更加融会贯通，能够让我们的数学逻辑能力得以夯实提升。但是，我们在导数学习过程中也常会出现错误，避免这些错误出现，并探索更好的解题策略，才能够让我们的学习质量得以提升。基于此，本文就导数应用中的常见错误进行分析，希望可以为大家的导数学习提供借鉴。

关键词：导数应用 常见错误 分析研究

中圖分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2019）01-0-01

前言

导数的学习是我们进行数学综合知识分析的重要路径，是我们进行函数学习的重要条件，只有强化导数的掌握和应用，才能够让我们的数学综合学习能力得以提升。导数因为其特质，我们在做题过程中极易出现错误，做好常见错误分析，是学好导数的重要策略。

一、导数学习重要性

导数是微积分中的一个基础概念，也是函数学习的重要内容。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，如果函数的自变量和取值都是实数，函数在某一点的导数就是这个函数所代表的曲线在这一切点上的切线斜率，不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数，如果一个函数在某一点上存在导数，那么就称其为函数可导，如果不存在则为不可导函数，但是可导的函数一定是连续的，不连续的函数一定是不可导的。简单点说，导数就是函数的斜率。导数是高等数学课程中非常重要的知识，我们可以通过导数的几何意义去求函数的切线方程，然后我们再通过导数的计算求出函数的极限。除此之外，还可以通过导数的结果来判断函数的单调性，所以导数知识点的学习在数学课程中是非常重要的。

二、例题分析导数应用中的常见错误

导数作为一种函数的求导工具，在解决实际数学的问题上非常方便，尤其是当利用导数求函数的单调性、极值、最值和切线的方程式时。虽然导数很实用，但是我们在现实学习过程中，发现导数的应用还存在着许多常见的错误，那么接下来我们就通过以下实例分析学习中的常见错误。

1.对函数的定义理解不清导致错误

例题1：已知函数，则

通常情况下，当我们遇到这种问题的时候，我们常会采用的计算方式就是通过得出原式=或者，其实这样想是错误的，这道题的关键就是要认清导数定义中的△x和△y的变化多样性，正确的解答方式应该是：

这个式子中，函数在x0处的导数，也就是在这一点上函数值的增量和自变量的增量的比值在自变量的增量接近0的时候的极限值，分子分母中的自变量的增量△x一定要保持相应的一致，所以它一定要是非0的变量。在导数的函数中，我们一定要特别注意△x和△y对应性变化，必须保持他们变化一致多样性，但是无论在哪种函数变化过程中，我们都要突现出他们之间的一致性。

2.对连续和可导的定义理解不清导致错误

例题2：函数在处，可导式函数是处连续的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

在这道题中，我们经常会觉得连续和可导是同一个概念，大部分学生就会选择C选项，还有一种错误的想法就是对充分条件和必要条件两个概念混淆不清，导致也有一部分学生会选择B选项，若想避开这道选题的错误，首先要理清充分条件和必要条件的概念，函数在处虽然连续但不一定可导。

3.对为极值的充要条件理解不清楚而导致错误

例题3：函数在处有极值10，求a、b的值。

在这道例题中，根据题意我们会觉得x=1处的时候有极值，=0并且=10，求解可以得出a=4，b=-11或者a=-3，b=3，这种解法就是错误的将为极值的必要条件当成了充要条件，为极值的充要条件就是=0并且在附近两处的符号相反。所以在这道题目中，我们一定要加上这句话，将得出的结果带入原式中，当a=4，b=-11时恰好符号相反，符合该题的条件，将a=-3，b=3带入到原式中的符号相同，所以应当舍弃该答案，最终的结果只有a=4，b=-11。

4.对函数的单调区间考虑不全而导致错误

例题4：求函数的单调增区间。

在这道选题中，我们多会根据题意得出，所以x?-2x+1>0，求得x≠1，又因为函数的定义域是（0，+∞），所以需要求的是单调递增区间就是（0，1）和（1，+∞）。这样解决的错误之处就是忽略了x=1处的函数是否连续，在这里显然是连续的，所以函数的单调递增区间应该是（0，+∞），以后遇到这类问题，应该就大于0和小于0之间的断开点的连续性多做研究，确定之后再下结论。

5.没有考虑到函数在某一点不可导而导致的错误

例题5：求在[-1，3]上的最大值和最小值。

在这道题目中我们经常会忽略掉函数在某一点不可导的知识点，其实函数的最值不是只在导数为0的点求得，而在不可导点或区间的端点处也可以获得，所以一定要在求得的结果后边加上一句话，那就是在定义域内不可导的点为x1=0，x2=2。

结语

通过以上例题的分析可以发现，我们在进行导数应用过程中常发生的一些错误，一部分是因为审题不明，一部分是因为思虑不周，还有一部分是因为我们对于导数的理解不够深刻。这就要求我们在学习中要不断强化导数的学习和应用，通过习题的练习，多渠道的强化，达到更好的学习效果，为我们的数学学习以及综合能力的提升和发展奠定基础。

参考文献

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