构建好模型，破解压轴题

万浩浪

【摘要】中考数学压轴试题，总给人以启迪。以“2019年广州市中考数学题第24题”为例，是一道延续往年创新风格的压轴题，题面简洁明快，但内涵极为丰富。本文从构建合适的基本模型着手，探究多种解法，破解压轴题。

【关键词】构建模型;压轴题

《课程标准（2011年版）》指出：“模型思想的建立是学生体现和理解数学与外部世界联系的基本途径。”它明确地表述了这样的意义：建立模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系。中考数学压轴试题，是中考试题的创新重点和难点高潮，思维深度、广度最大的内容，综合性、灵活性最强的设计。中考压轴题的训练，是锻炼学生数学建模能力的良机。本文以“2019年广州中考数学题第24题”为例，本文从构建合适的基本模型着手，探究多种解法，破解压轴题，与同行共研。

一、[题目呈现]

24.如图，等边中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），ACDE关于DE的轴对称图形为AFDE。

（1）当点F在AC上时，求证：DF//AB;

（2）设AACD的面积为S1，AABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值;若不存在，请说明理由;

（3）当B，F，E三点共线时，求AE的长。

本题是一道延续往年创新风格的压轴题，它的信息量大，综合能力强，灵活度高，能全面考查学生的核心素养，重点考察动态分析能力，在动态几何变换的背景下考查的旋转最值和解直角三角形等。

二、解法探讨

24题（1）（2）都是和动点F有关，（1）问点F位置是在AC上，利用全等的知识比较容易求证，这里不祥细阐述。（2）问S=Sl-S2是否存在最大值？期中S1可以算出来是常量，S2是变量，主要是由动点F的位置决定的，若S有最大值，则S2就是最小值，那又如何判断s2有最小值？根据S2=1/2ABhF（hk表示点F到边AB的距离），因为AB=6，所以要使S2最小，就是最小，点F在什么位置时候hF最小？这个就是大部分学生的难点，因为点F是动点，学生的思维混乱，无从下手。

构建模型一：hF的最小值一箭穿心成共线（点D、點F、点H三点共线）。

为了突破难点，我们就关注点F，既然它是一个动点，就去探究其运动路径，因为△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，所以FC=DC=2，不难发现点F是以定点D为圆心，半径为2的圆弧上的一点，如图2，于是问题就转化为探究圆上一点到直线的最小距离，即过点D向AB作垂线段DH与OD相交得到与AB距离最近的点F。因为hF=DH-DF=DH-2所以hF也最小。S存在最大值连接AD，AF，BF，过点D作DH⊥AB于H，如图5∵CD=2，等边三角形ABC边长为6，BD=4，BH=2，DH=2√3，∴S1=S△ACD=1/2×3√3*2=3√3，由于S= Sl - S2，当S2有最小值时，S有最大值，

∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.

∴FC=DC=2，即点F是以定点D为圆心，r=2的圆弧上的一点，

∴S2=1/2ABhF=1/2*6hF=3hF

当点F恰好落在DH上时，有hF最小值=DH-r-2

S2最小值为S2=3hF=6√3-6，S最大值为

3√3- （6√3-6）=6-3√3.

[反思]要突破难点实际上是为学生建立了——圆上任意一点到已知直线距离的最小值问题模型，解决此问题的通法是回到定点D来解答，先确定DH的最小值（垂线段最短）再减去定长DF，从而解决此问题。

构建模型二：最小值化折为直

解法2：S存在最大值。与解法1相同的部分不重述了，主要说难点，如何求FH的最小值，关注动点F落在何处，如图3，任取动点F'（不在DH上）根据三角形三边关系与垂线段最短性质知DF'+F'H'>DH'>DH（DH=DF+FH），且DF、=DF-2，所 以F'H'>FH，当F'点恰好落在DH上点F重合时，此时F'H'=FH取得最小，补全图形如图4。

[反思]要突破难点实际上是为学生建立了——三角形三边关系（两边之和大于第三边）模型，当两边之和与第三边（定值）重合时，存在最小值，最小值为定长DH与2的差。

（3）当当B，F，E三点共线时如图6，求AE的长。

要求AE的长，可设EC=x，则AE=6-x，此时要找到关于x的数量关系列出方程，然后解方程，问题就解决，但大部分同学不知如何找它们之间的数量关系，这个也是此问的难点。

构建模型三：构造直角三角形，利用解直角三角形的知识突破。

解法1如图7，过点D作DP⊥BE，过点E作EQ⊥BC，

由此可知（1）知△DCE≌△DFE，设CE=x，则EF=x，DF=DC=2，∠DFE-∠c=60°，在Rt△DFP中，PF=DF=1，PD=√3在Rt△BPD中，BP=√BD2-PD2=√42-（√3）2=√13，sin∠DBP=DP/DB=√3/4在Rt△BPD中，QE=EC·sinC=√3x/2在Rt△BPD中：BE=BP—PE+EF=√13-1+xsin∠EBQ=EQ/EB=√3x/2/√13-1+x∵∠DBP=∠EBQ∴√3/4=√3x/2/√13-1+x解得：x=√13-1，∴AE=AC-CE=6-（√13-1）=7-√13

[反思]“直角三角形模型”是平面几何一种基本图形，解法1主要是利用在直角三角形中三角函数的知识找准等量关系，列出关于味知数的方程完成解答。

解法2：如图8，过点D作DP⊥BE，过点E作EQ⊥BC，

由可知（1）知△DCE≌△DFE，设CE=x则EF=x，DF=DC=2，∠DFE-∠C=60°，在Rt△DFP中，PF=1/2DF=1，PD=√3，在Rt△BPD中，BP=√BD2-PD2=√13，在Rt△DFP中，CQ=1/2CE=1/2x，QE=√3x/2，在Rt△BEQ中，BQ=BE-CQ=6-1/2x，BE=BF-PF+EF=√13-1+x，由勾股定理，可得：BQ2+QE2=BE2即：（6-1/2x）2+（√3x/2）2=√13-1+x）2解方程得：x=√13-1，所以AE=AC-CE=6-（√13-1）=7一√13.

[反思]解法2主要是利用勾股定理的知识找准等量关系，列出关于味知数的方程完成解答，但前提仍是在构建“直角三角形模型”中才能破解。

解法3：由折叠得，∠EFD=∠ECD=60°，DF=DC=2，如图，过D点作DG⊥BE交BE于点G，过B点作BH⊥AC交AC于点H，在Rt△DFG中，FG=DF·cos∠DFG=√3在Rt△BGD中，由勾股定理得，BG=√BD2*GD2=√3，∴BF=BG—FG=√13-1，在Rt△BHC中，CH=BC·cos∠=3，BH=BC·sin∠C=3√3设CE=EF=x，则HE=CH-CE=3-x，BE=BF+EF=√13-1+x，在Rt△BEH中，由勾股定理得：BH2+EH2=BE2即（√3）2+（3-x）2（√13*1+x）2解得x=√3-1，∴AC-CE=7-√13，。

[小结]解法3仍是利用勾股定理的知识找准等量关系，列出关丁味知数的方程完成解答。

解法4：由折叠得：

∠EFD=∠ECD=60°.DF=DC=2，

当B，F，E三点共线，∠BFD=180°-∠EFD=120

过点D作DG⊥BE交BE于点G.在Rt△DFG，FG=DF·cos∠DFG=1，DG=DFsin∠DFG=√3，在Rt△BGD中，由勾股定理得：BG=√BD2-GD）=√13，∴BE=BG-FG√=√13-1，∵BD/CD=√13-1，∵BD/CD=2，∴S△BDE/S△CDE=2由折叠得：教△EDF≌△EDC，∴S△EDF=S△EDC，∴S△BFD=S△EDFBF=EF=CE=√13-1，∴AE=AC-CE=7-√13

[反思]解法4是利用解直角三角形和面积法进行计算。尤其是用面积公式来推理，很多学生难以想到，主要抓住折叠的性质及△EBD与△EDC的面积比=2：1，推出BF=FE=EC，从而算出EC，所以在解题时一定要“读题”，对题目中的条件在大脑中有个整体的认识，然后根据条件的特征和相互联系发现解题的途径。

解法5：当B，F，E三点共线时，有ED平分∠BEC，设EC=X，在△EBC中，由角平分线定理得BE/EC=BD/DC ∴BE=2x过点E作EH⊥BC交于点H，在Rt△EHC中EH=√3x/2，HC=1x/2，则HB=6-1x/2在Rt△EHB中：BE2=BH2+HE24x2=3x2/4+（6-1x/2）2解得：x=-1+√13∴AE=AC-x=7-√13

[反思]解法5是利用勾股定理和角平分线定理找准等量关系，列出关于未知数的方程完成解答。此方法相对上面的方法计算相对简单，学生容易接受。

构建模型二：构造相似三角形，利用相似比突破。

解法6：作∠HFB=60°，过点D作DG⊥BE于点G

∵B，F，E三点共线 ∴∠DFH=60°

又∠ABF+∠FBH=∠FBH=∠FDB=60°

∴∠FDE= ∠ABF 又∵∠DFH=60°=∠A

∴△DFH∽△BAE

∴DF/AB=FH/AE，设AE=y，

∴2/6=FH/AE可算出FH=1/3y

在Rt△DFG中，FG=DF·COS∠DFG=1，DG=DF·sin∠DFG=√3，

在Rt△BGD中，由勾股定理得：BG=√BD2-GD2=√13

∴BF=BG-FG=√13-1

又∠BFH=60°=∠C，∠FBH=∠CBE（公共角）

△FBH∽△CBE

∴FH/CE=FB/CB

∴（1/3y）/（6-y）=（√13-1）/6，解方程可算出y=7-√13

[反思]構造“相似”模型一种常见的方法，解法6在本小题中利用的角去构造两个相似三角形，利用相似比建立方程完成解答。

三、题后启示

（1）初中生应具备数学建模能力，纵观初中数学教材不难发出，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学基本模型。如以上每一种解法都是在构建基本模型下探寻的，不管是直接方法还是间接方法，其主线是从几何的背景出发，利用几何图形的性质，列出方程，求出结果。要破解压轴题的前提是构建合适的基本模型。

（2）对于此类压轴题，师生希望“解一题，会一类，通一片”，希望能举一反三、触类旁通，这就是需要学生平时注重积累基本模型，并要全面地对其归类，理解“实际问题——建立模型——求解验证”的数学活动过程，逐步熟练地应用模型解决问题。

参考文献：

[1]史宁中.数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，