关于“串联电路中滑动变阻器电功率变化范围”的探讨

肖映健

学完人教版初中物理第18章《电功率》后，在评讲作业时遇到如下习题：如图1电源电压保持不变。将开关S闭合，滑动变阻器的滑片P向左滑动，电路中的变化情况是

A.电压表的示数变小

B.R2消耗的功率变小

C.电路消耗的总功率变大

D.电压表和电流表示数的比值不变

根据解答电路图的一般步骤：首先简化电路，确定电路连接方式;然后观察电流表、电压表测量哪些用电器的电流和电压，根据串并联电路的规律及欧姆定律进行解答和计算。由图1可知，电路为串联电路，根据“去源法”（去掉电源，电压表和哪个电器形成闭合电路，电压表即测哪个用电器两端的电压），可知电压表测R1两端电压。由串联电路规律，学生很容易判断出，滑动变阻器的滑片P向左滑动，R1电阻变大，串联分压，电压之比等于电阻之比，电压表示数变大;由P=UI可知，P向左滑动R1变大，电源电压不变，电路中电流变小，R2两端的电压变小，R2消耗的功率和电路消耗的总功率均变小，电压表和电流表示数的比值即为R1的阻值变大。所以容易选出正确选项B。善于思考问题的同学提出，在滑片移动的过程中，R2消耗的功率和电路消耗的总功率均变小，R1消耗的电功率如何变化？有些同学说变小，有些同学说变大，还有说不变的。根据P=UI，U变大，I变小，涉及两个变量，无法判断，或者根据P=I2R，I变小，R变大，或者由P=P总-P2，P总和P2都变小，同样不能判断滑动变阻器R1电功率变化的情况。滑动变阻器在移动过程中消耗的电功率是不是真的无法判断了？许多同学存在疑惑，因为要涉及相关的数学知识，难度较大，为了不让同学们失望，笔者设计出了如下的题目。

例题：在如图2所示的电路中，电源电压为U=6V且恒定，定值电阻R1=lOΩ与最大值为20Ω的变阻器R2串联，求开关闭合后，滑片P从a端滑到b端的过程中，R2的功率的变化范围？

分析：由图可知R1和R2串联，当滑动变阻器的滑片在最左端时，R2电阻为零，因为电路是纯电阻电路，由P=I2R得，R2的最小功率为零。当滑动变阻器的滑片向右移动，R2接入电路阻值变大，电路中总电阻变大，通过R2电流减小，R2两端电压增大，如果根据公式P=UI，因为有两个变量，一个变大，一个减小，不能直接求出P的值。利用公式P=I2R，也涉及两个变量，一个变大，一个变小。这需要借助数学知识来求出物理的最值问题。

方法一：当R2接入电路中阻值为R时，电路中电流为I，滑动变阻器的电功率为P2;

根据：P总=Pl+P2即U总I=U1I+U2I

P2=P总-P1 P2=UI-I2R1带入数据得：

P2=6I-10I2

P2=-10I2+6I

可以將电功率P2看作是随电流I变化的二次函数，如图3所示，根据数学知识，在二次函数，判别式△=b2-4ac=36>0二次函数开口向下，有最大值。

当I=-b/2a=0.3A，即可得到最大电功率：P2=0.9W

当滑动变阻器接入电路中电阻：R2=O时，滑动变阻器电功率最小，P2=0所以滑动变阻器电功率变化范围：o≤P≤0.9W

方法二：当R2接入电路中阻值为R时，滑动变阻器的电功率为P;

P=UI=I2R=（U/R1+R）2R=U2/1/R（R1+R2）2=U2/R12/R+R+2R1

利用数学的完全平方公式：

（a-b）2≥O

a2+b2≥2ab

当a，b大于零时：a+b≥2√ab（a=b时有最小值）

结合数学函数：y=x+1/x（x>0）如图4。

结合上面的公式，a+b≥2√ab当x=1/x时，x=1，y有最小值y=2。

所以R12/R=R即：R=R1=10Ω时，有最大值：P=U2/4R1=0.9W

同理可得：滑动变阻器电功率变化范围：0≤P≤0.9W

通过计算可知，当滑动变阻器接入电路中电阻最大，电功率并不是最大，而是等于串联电阻的阻值时是最大的。但是如果滑动变阻器的最大阻值小于定值电阻的阻值，如何求呢？

还是利用数学二次函数最值的求法，结合二次函数抛物线的图像：

利用上题分析：根据P2=10I2+6I

当滑动变阻器电阻R2=O，电流最大，

I最大=U/R1=6V/10Ω=0.6A

当滑动变阻器电阻最大R2=20Ω，电流最小，I最小=U/R1+R2=6V/30Ω=0.2A

当R1=R2=10Ω，I=U/R总=0.3A时，P最大;

滑片P从a端滑到b端的过程中，根据二次函数图像，p2=-10I2+6I，当电流变化范围为0.6A-0.3A.P随I减小而增大;当电流变化范围为0.3A-0.2A，P随I减小而减小。所以如果滑动变阻器的最大阻值小于定值电阻的阻值，R2

归纳总结：如果滑动变阻器R2与一个定值电阻R1串联，R1的电功率为P1，R2滑动变阻器接入电阻为RX，电功率为PX，电源电压为U，电路电流为I，总功率为P。则：

Px=P-P1

Px= UI-I2R1

R1大于0，则Px有最大值。当I=-b/2a=U/2R1时Px最大。

根据欧姆定律：I=U/R1+RX解得：RX=R1。

由以上分析可以得出结论：

1.当R2max

2.当R2max=R1，Rx=R1=R2max时，功率Px最大。

3.当R2max>R1，Rx=R1时，功率Px最大。

以上解法除了运用关于电功率的计算公式外，还借助于数学公式推理，将不能一目了然的物理计算变成了数学函数表达式。在平时教学中，有意识地把数学知识渗透到物理教学中去，真正做到把数学作为学习物理的工具。电功率是初中学生物理学习中的一个重难点内容，是对电能、电功知识的深化，“运用电功率公式解决有关问题”在深圳中考属于运用层次，而求串联电路中滑动变阻器的电功率最值时需要用到数学知识对于初中生来说是难上加难。通过以上典型例题的分析，完美利用数学函数知识，则物理电功率问题迎刃而解了。

本文仅针对滑动变阻器在串联电路中的变化求电功率，问题的解决，需要通过严密的思考和细心的推导，这对培养学生的逻辑思维能力有很大的帮助，同时也为学生进一步深入学习打下坚实的基础。