用“图形变式”有效破解“图形误导”

叶端权

【摘要】几何学是一门研究几何图形的学科，能正确“读图”既是学生的一项基本功，也是学生解决几何问题的重要一环，但在做练习时，一些学生读图往往过于直观，没有洞察到图形的本质，从而容易被图形所误导。本文主要以一道证明题为例，谈谈在教学中，教师应如何让学生学会破解图形误导的方法。

【关键词】证明题;图形误导;图形变式

题目是一份试卷的第18题，原题是这样的：18.已知，如图，AB是⊙O的直径，CB⊥BA，连结AC交⊙O于D，DE切⊙O于D，交BC于E，求证：BE=EC。

题目很短，也很清晰，理解起来应该不难，拿到题目，笔者的想法是这样的：

想法一：DE是⊙O的切线，很自然想到作辅助线：连结OD（如图1），此时四边形BODE很像正方形，如果能证明这一点，那么，由正方形对角线平分一组对角容易得出∠EBD=∠EDB=450，而AB是⊙O的直径，那么∠BDC也是直角，则△BDC是一个等腰直角三角形，且∠CDE=∠EDB=450，由等腰三角形“三线合一”之性质，马上可以得出要证的结论。现在剩下的问题是如何证明四边形BODE是正方形，由题不难得出这个四边形有一组邻边相等：OB=OD，有两个角是直角∠CBA=∠ODE=900，但要证明四边形BODE是正方形还缺一个条件，如果能再找多一个角是直角，那问题就全部解决，可是如何找呢？

想法二：D点会是线段AC的中点吗？如果是，BD就成了Rt△ABC斜边上的中线，那么BD=CD=AD，进而容易得出△CDE，△EDB.△OBD，△OAD等都是等腰直角三角形，这样BE=ED=CE，问题也好解决，可是如何能证明D是AC中点呢？

两种想法都走进了死胡同，反思两种想法，有一个共同点：“看图形四边形BODE很像正方形”或“D像AC的中点”，下面的论证都是由这两个结论成立出发来做的，可是就偏偏是这两个出发点本身就已经有了问题，所以当然不可能证明出来。可以说，这两种想法都是被图形“误导—了。

四边形BODE很像正方形，可它真是正方形吗？D像AC的中点，可它真是AC中点吗？我们不妨通过“图形变式”来看看：事实上，题中只要求CB⊥BA.却没有要求CB有多长，既然题中没有这个要求，那么，如果CB长一点，对结论“BE=EC”应该没有影响。我们想像一下，如果把CB变长一点（如图2），这时，显然四边形BODE就不再像正方形，D也不再像AC中点，两种想法出发点已经错了，当然不可能证明出来。

那应该如何证明呢，通过图形变式，要证明BE=EC，因为CB⊥⊙O的直径AB，所以其实CB也是⊙O的切线，由切线长定理容易得出BE=DE，如果能证明CE也等于DE，那问题就解决了，因为CE、DE在同一个三角形△CDE内，自然优先想能否通过“等角对等边”来证明，即要证明∠C=∠1，因为∠1+∠2=900，由DE是⊙O的切线知∠2+∠3=900，也就是说∠1=∠3，如果能证∠3=∠C，那问题就解决了，显然这两个角不在同一个三角形内，也不在两个看上去全等的三角形内，所以一下了还不能直接得出。再观察图形，由OB=OD，容易得出∠3=∠4，那是否有∠4=∠C呢？由△ABD和△ABC這两个直角三角形可以得出，∠4和∠C同是∠A的余角，应相等，于是思路就全线贯通了。

其分析图如下：

反思这个题目的解题过程，读图时被图形所误导成了学生思路进入死胡同的主要原因，而利用“图形变式”来破解“图形误导”成了解题的关键。作为教师，我们应如何让学生学会破解“图形误导”的方法呢？

1.读图讨于盲观，没有洞察到图形的本质属性，这是“图形误导”的主因

我们这里所说的“图形误导”，通俗来说，是指在没有理据支撑的情况下，凭感觉看图形像什么就得出的错误的结论。比如上题，“四边形BODE很像正方形”“D点是线段AC的中点”这两个结论都是因“图形误导”而得出的错误结论，这也是两种想法最终都走进死胡同的原因。一旦出发点错了，再往下想也是徒劳。由此可见，“图形误导”对解题来说往往是致命的。

那么为什么会出现“图形误导”的情况呢？这与学生读图时过于直观，没有洞察到图形的本质是分不开的。例如上题中，因为四边形BODE很像正方形，并且已经有一组邻边相等：OB=OD，有两个角是直角：∠CBA=∠ODE=900，这就更坚定了四边形BODE是正方形的观点。但从本质上来讲，题目只要求CB⊥BA.却没有要求CB有多长，既然这样，那么，如果CB长一点或者短一点，对结论“BE=EC”应该没有影响。那么把CB变长，整个图形的形状就发生了变化，原来看上去理所当然的“四边形BODE很像正方形”“D点是线段AC的中点”就显然不成立了。

在读图时，先凭着直观印象去思考，这本身并没有什么问题，这也是常用的方法，但当想法不通时，就要懂得退回来，并对图形进行变式思考，这一点显得很有必要。

2.“图形变式”是破解“图形误导”的有效方法，其要点在于“形”变“神”不变

所谓的“形”变是指图形的形状发生改变，而“神”不变是指其本质（条件）不能变。还是以上题为例，题目只要求CB上BA，却没有要求CB有多长，所以CB长度是可以改变的，但CB⊥BA这个条件是不能改变的，所以，在进行图形变式时，我们可以把CB变长（或变短），这时整个图形的形状就发生了变化，但是它的本质条件CB⊥BA并没有改变，而正是因为通过这样一个变形，我们再也不会认为“四边形BODE是正方形”或“D点是线段AC的中点”了，这对于我们重新思考问题，直到找到正确的解题方法来说显得尤为重要。