二次函数中与动点相关的最值问题

2019-02-19王树宝

新教育论坛 2019年16期

王树宝

摘要：初中函数学习时，动点相关问题在二次函数中是学生大多感觉较为困难的问题，怎样按照题目给出的信息，根据变化的动点特点，找到对问题进行解决的关键，达到化繁为简，获得问题巧妙的解决办法.本文针对初中二次函数中动点相关最大值问题进行分析探讨，给出实际案例进行说明，剖析对常见困难问题的分析思路，找出巧妙解决的关键所在，旨在为大家起到事半功倍触类旁通的作用。

关键词：初中；二次函数；动点；最值问题；分析

引言

二次函数含有字母系数的最值求解，一般遇常遇到的题目中函数求最值的系数是常数，但往往实际中考选题时会出现字线为系数的问题。需要在解答时进行讨论系数的取值问题，因为类似的题目颇有难度较为复杂，常会将很多学生在试卷中因此丢失。其实对这种题目基本的解决思路，可以将系数当作常数来思考，因为常数的二次函数是学生一般都较为熟悉的题型，再给合在自变量变化范围内顶点的不同变化位置，展开对函数分类的讨论，得出各种不同情况条件下的题目结论。

二次函数区间范围内最值的求解

初中数学函数学习时，二次函数最值在区间范围内类型的问题，在学生中普在普遍的难度，学生除了要对二次函数的性质熟练地掌握，同时函数解题时的应用技巧也需要具备。通常来说，对于一个二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=-- 这种情况下的解题过程比较简单，很容易求得它的最值为f（-- ）。而如果x的取值范围被限定了，当x=[a，b]时，求解最值的方法就显得十分的困难。基于此，必须要针对性的分情况进行讨论，求解时要根据二次函数的性质和提供的图象来分析。

1.定轴定区间

函数的区间和对称轴均固定是指的为定轴定区间，求解种类题目时较为简单，一般结合函数图象分析就能判断最小或是最大值。

例1：求函数y=x2-2x-3在区间[-2，2]上的最大值.

解析：二次函数的最值在闭区间上，也许会在闭区间的端点上出现，也可能在函数的顶点上出现.此二次函数的开口向上，有可能在两个顶点上或两个端点均取得.按照函数对称轴或是区间范围可以该作出函数的草图，进行对草图的观察或获得最小值和最大值的位置.对称轴为x=1是原方程式提供的信息，通过草图的观察分析出应在x=1处取得最小值，即ymin=-4；而在x=-2處取得最大值，即ymax=5。.

2.定轴动区间

可以确定函数的对称轴是为定轴动区间，但其不确定的是闭区间，有变量区间内的函数存在.对称轴之间和函数的区间的相对位置关系是这类问题主要考查的。

例2：求在区间[t，t+1]上时，y=-x2+2x-2，其最小值和最大值。

解析：与例1的不同的是，这一例题是关于变量的函数区间，对称轴和区间端点值不能采取直接对应值大小的比较，具体的函数图象不能起草画出而供分析参考，无法直接进行问题的求解。需要在解题时分类讨论.最大、最小值的取值点按照对称轴和区间端点的距离关系来进行分析确定。

函数图象的对称轴根据原函数可知为x=1.当在区间的左侧函数的对称轴时，即t+1< 1时，ymax=y（t + 1 ） = -t 2 -1；当函数的对称轴在区间右侧时，即t≤1时，ymax=y（t）=-t2+2t-2；当在区间范围内的对称轴函数时，即t≤1≤t+1 0≤t≤1时，ymax=y（1）=-1.

3.定区间动轴

函数的区间固定即为定区间动轴，它是变化着的对称轴，这种情况下，需要讨论二次函数的最值。与定轴动区间有着相似的讨论情况。

例3：求函数在区间[-1，2]上y=x2+2ax+1的最小值.

解析：该函数的对称轴根据函数方程可知x=-a.当在区间的左侧函数的对称轴时，即-a<-1时，Ymax=y（-1）=--2a+2；当在区间范围内的对称轴函数时，为-1≤-a≤2时，Ymax=y（2）=4a+5.

4.轴定区间变问题

例4：求在区间[t，t+2]上时，二次函数f（x）=x2-2x-3的值域.

分析：随着改变的区间位置，函数值域因为对称轴和区间的相对位置的变化影响显而易见。

①当位于区间的左侧的对称轴位置时，即t≥1时，在区间[t，t+2]上的函数f（x）为增函数，此时取值f（x）的范围为f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②当位于左半区间的对称轴位置时，即t≤1≤t+1时，在区间[t，t+2]上的函数f（x）变化是先减后增，距离对称轴右端点t+2较远，此时取值f（x）的范围为f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③当位于右半区间的对称轴位置时，即t+1≤1≤t+2时，在区间[t，t+2]上的函数f（x）也是先减后增，此时距离对称轴是左端点t较远，因而是f（1）≤f（x）≤f（t）f（x）的取值范围；

④当位于区间的右侧的对称轴时，t+2≤1时，在区间[t，t+2]上的函数f（x）为减函数，此时取值f（x）的范围是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

有些学生很可能只会进行三种情况的讨论，而合并②③，这是求解思路是容易造出错的普遍原因。