两法归一统

宋岑

摘要：高等数学教材在介绍定积分时，一般先讲解定积分的概念，后给出牛顿—莱布尼茨公式来计算定积分。学生在学习过程中体验了黎曼和的极限的复杂性，牛—莱公式的神奇性，但却没有真正搞清楚二者之间的关系，甚至因无法直接计算，对“分割、取近似、求和、取极限”的方法实用性产生了怀疑。本文重新从曲边梯形面积问题出发，从解决问题寻找方法的角度梳理了黎曼和的极限与积分上限函数之间的关系，将这两种方法与思想合二为一。

关键词：定积分；黎曼和的极限；积分上限函数

高等数学中介绍的定积分又称黎曼积分，它的定义非常独特，采用了大量符号语言介绍了方法步骤，详细描述了黎曼和的极限的计算方法。黎曼和的极限所用的“分割、取近似、求和、取极限”的方法是计算曲边梯形面积的重要方法，而牛顿—莱布尼茨公式则是计算黎曼和的极限的公式。这部分内容看似逻辑清晰，先学方法后学计算，但其实二者之间的关系并没有那么单纯。换从解决问题寻找方法的角度重新思考曲边梯形面积问题时，会得到一些有趣的结论，进而发现这些数学概念的真正内涵。

一、黎曼和的极限并没有解决问题

在数学建模中，评价一个方法的好坏，最简单的标准就是看该方法能否获得答案。比如最优化路径问题是数学建模中的经典问题，可以有很多种办法去做。但专科学生受限于自身水平和时间，像神经网络这样的高难度算法，专科学生在短时间里一般无法掌握，无法真正计算出结果。没有结果的论文就是一个空架子，所以神经网络对专科学生来说并不是一个好算法。黎曼和的极限在计算曲边梯形面积这个问题上，也如同一个空架子一般，看似把问题解决的很完美，但实际操作会发现，计算无限项之和的极限基本就是不可能的事情。虽然牛—莱公式给出了计算方法，但需要说明的是，它并不是直接解决了无限项之和的极限计算问题，而是另辟袭击，寻找到了计算曲边梯形面积的另一个新方法。所以从这个角度来说，黎曼和的极限并没有真正解决问题。

二、积分上限函数是一个独立的方法

牛—莱公式的证明过程中，最为核心的部分就是构造了积分上限函数 （如图1）。

图1 积分上限函数 的几何意义与面积增量的无限累加

这是一个被构造出的函数，由于受其名称和表示形式的影响，容易误以为它的诞生需要依赖于定积分的概念。其实，这个函数完全可以脱离定积分的概念而存在，构造出这个能够直接反应曲边梯形面积动态变化的函数，是可以完全独立的解决曲边梯形面积问题的。下面是简要的计算过程，由于可以参考牛—莱公式的证明，所以部分证明从略。为了说明其与定积分的概念无关，这里直接用符号 来代表积分上限函数。

构造函数 ， ， 的几何意义如图1所示。显然若能得到函数 ，那么曲边梯形的面积即为 ，问题得解。利用函数 自身的相关特性，易证 。利用不定积分的概念，设 是 的任意原函数，得 ，代入初始条件 ，确定常数 ，得特解 。代入 ，得 ，问题得解。

上述计算过程在名词使用上，特意采用了微分方程的术语，因为从本质上来讲，计算 的过程就是在计算一个微分方程的特解。只不过目标函数 与 之间的函数关系隐藏的非常深，当二者关系被证明后，原问题自然就转化成了如下这个标准的微分方程问题。“已知微分方程 ，初始条件 ，求特解 ，并计算 。”

三、两法归一统

仅从解决问题的角度，黎曼和的极限不如积分上限函数来的有价值。甚至可以说黎曼和的极限窃取了积分上限函数的结果，强行把另一种解决曲边梯形面积问题的方法，当作为是解决自身计算问题的方法。为什么教科书要如此“厚此薄彼”呢？下面给出理由。

黎曼和的极限促成了微元法的诞生。如果定积分只能求解曲边梯形面积问题，那它根本不可能登上基础学科数学的教科书，成为一个经典方法。把“分割、取近似、求和、取极限”的方法应用到其它领域和问题中，才是定积分最大的魅力。微元法可以把可以很多新问题，比如变力做功、液体压力等问题转化为写微元后直接积分的问题，把很多理论分析的过程变成了操作性更强的具体方法。所以，虽然黎曼和的极限不能直接算，但它却是一个可以最快将新问题标准化，写出相应积分算式的方法。而积分上限函数所采用的这种类似求解微分方程的方法，却正好与之相反，由于函数之间的导数关系难被发现和证明，这种方法难以推广。但是它可以算。

同一个问题两种方法，二者之间的互补性也非常的明显。前者能列出算式但自己不会算，后者列不出算式但是能帮前者算。两种方法各自都存在缺陷，但结合后就可以完美解决问题。前者作为经典方法被大力推广，后者成为前者的计算公式，而这也是现在的高等数学教材所最终呈现的二者关系。黎曼和的极限的方法成为了定积分的概念，积分上限函数成为牛顿—莱布尼茨公式，为定积分的计算而存在。

四、两种方法同一个思想

黎曼和的极限与积分上限函数在思想上其实是高度一致的。积分上限函数是一个处处体现了“分割、取近似、求和、取极限”思想的函数。考察变量 从 增加到 时，函数 的变化过程，可以认为整个曲边梯形是在这个增加过程下逐步形成的。 随着 的增加，不断增大，其值时刻表示着由 到 函数 所决定的曲边梯形面积。如图1，记 处增量有 ，则面积增量为 ，当 时，面积增量 。

根据这个过程，整个曲边梯形可以看作是由无数多个小长方形面积的增量累加所形成，而这个过程与黎曼和極限的思想不谋而合。积分上限函数就像是“分割、取近似、求和、取极限”这十个字的一个现实代言人。本文之前把变上限函数看作了一个解决曲边梯形面积问题的独立方法，但其思想却和黎曼和的极限如出一辙。所以从思想上见本质，两种方法归根结底还是一种方法。

总结：本文从定积分那独特的定义出发，从新角度深度解析曲边梯形面积，为教科书中内容安排的合理性给出了说明，阐述了定积分的概念和牛—莱公式之间的真正关系，为学生学习定积分提供了一定参考。经典教科书中内容的安排都是很讲究的，必须深度解析才能体会到其中的奥妙。