例谈初中生数学解题思路受阻后的反思策略

2019-02-15陈立顺

考试周刊 2019年11期

关键词：反思思路数学

摘要：学生在例题学习或独立作业时，常因各种原因导致思路受阻。因此，探讨解题思路受阻后的反思策略，对于提高学生解题能力及数学学习能力就显得至关重要，下面结合自己的教学经验，谈谈初中生在解题思路受阻后的反思策略。

关键词：数学；思路；反思

一、从顺推和逆推两个维度总结熟记一些普适性的思考规律

当学生解题思路受阻时，直接的原因就是因为看到题目的某个条件，或者是多个条件组合后无法进一步地进行推理，或者不善于从结论出发多途径地去追溯所需的条件，进而找到顺推和逆推的中途点，从而解决问题。因而教师可从以下两方面去帮助学生进行反思总结。

（一）总结熟记一些由条件推向结论的常见模式

请看下例：

例1：（1）如图1，在△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作直线EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，猜想EF和BE、CF有何关系？说明理由。

（2）如图2，若将（1）中的“BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB”改为“BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他条件不变，则EF与BE、CF的關系又如何？请说明理由。

分析：（1）这两个小题共同的解法都是根据角平分线性质和平行线性质推出△BEO和△CFO都是等腰三角形的结论，再根据BE=OE，CF=OF得出EF与BE、CF之间的关系。而初学时学生思维受阻的原因基本上都是没有想到上述两个条件组合将产生两个等腰三角形，从而再向前推进证得结论。

（2）当在教师或同学的启发下，学生们知道该题的解题思路后，教师应顺势帮助学生反思总结出这样一个条件组合的规律：当一道题目的已知条件中同时出现了角的平分线和这个角的一边的平行直线时，一定要先挖出隐含在图形中的等腰三角形（有时还得添辅助线画出等腰三角形）。并且要提醒学生，总结出的规律要时时加以利用，并不断完善。随着今后的学习，我们还会发现，其实那条平行线不仅可以是角的一边的平行线，还可以是角平分线的平行线。

其实数学中，这种由条件组合推向结论的模式有很多，教师要善于引导学生发现和总结。如在四个代数式a+b，ab，a-b，a2+b2中，若有两个代数式的值已知，便可以利用完全平方公式求得另两个代数式的值。又如有这样一个基本图形：如果两个顶角相等的等腰三角形具有公共的顶角的顶点，当把它们的底角顶点连接起来时，则会形成一组全等的三角形。即如图3所示，若△ABC与△ADE都是等腰三角形，且它们的顶角∠BAC=∠DAE，则可得到△ABD≌△ACE。

（二）总结熟记一些由结论追溯条件的常见模式

如下例：

例2：完成下列题组

（1）如图4，已知：直线AB经过点B（4，0）和A（0，3），点P是y轴上一动点，若△ABP为等腰三角形，试求出点P的坐标。

（2）如图5，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=4，DC=3，AD=6。动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2个单位长的速度运动，同时动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。问当t为何值时△BPQ是等腰三角形？

（3）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=45。点P、Q分别是AC、BA边上的动点，且AP=BQ=x。若△APQ为等腰三角形时，求x的值；

（4）如图7，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，△DEF≌△ABC，移动△DEF，在整个移动过程中，点E始终在BC边上（点E不经过B、C两点），且DE始终经过点A，EF与AC交于点M。若△AEM为等腰三角形，求BE的长。

分析：第（1）题中△ABP两个顶点A和B是定点，第三个顶点P可到线段AB的中垂线或分别以A、B为圆心以线段AB为半径的两个圆上去找，找到点P后再进行列式或列方程求解。

第（2）题中△BPQ的三个顶点中，只有一个顶点B是定点，点P、Q都是动点，显然（1）中的方法不适用。这时可考虑将△BPQ三边或三边的平方字母化，即将△BPQ三边或三边的平方用同一个未知数表示出来：PQ2=t2+32，BQ2=（4-t）2，BP2=（4-2t）2+32，然后分三种情况：PQ=BQ或BP=BQ或PB=PQ分类列方程即可求解。

第（3）题中显然（1）（2）的方法都较难实现，但题目中sinA=45，可以认为∠A是一个特殊角，若△APQ为等腰三角形，则夹∠A的两边之比一定为1∶1或5∶6，而边AP和AQ很容易用同一个未知数表示出来，这就使问题得到轻松解决。

第（4）题中，显然（1）（2）的方法都不适用，尽管sin∠AEM=sinB=45，可推出若△AEM要为等腰三角形，则夹∠AEM的两边之比为1∶1或5∶6，但边AE和EM很难用同一个未知数表示出来。于是可考虑从等腰三角形两底角相等带来的新的关系去求解。由∠B=∠DEF=∠C，易推得∠CEM=∠BAE。由∠AME>∠C，可知∠AME>∠AEF，若∠EAM=∠AME，则AE=EM时，可推得△ABE≌△ECM，易知BE=1，当AM=EM时，可知∠MAE=∠MEA=∠C，可推得△CAE∽△CBA，进而可求得BE的长。

上述题组，一般学生解题思路都会受阻，此时教师应不失时机地引导学生总结出下列动点形成等腰三角形的由结论追溯条件的思考规律：

1. 变中抓不变，分析三角形几个顶点定，几个顶点动，哪些边角定，哪些边角变，有没有特殊角（如30°、45°、60°或某个三角函数值已知的角度）；

2. 若三角形两个顶点定，一个顶点动，则动的顶点可到两定点连线段的中垂线或以两定点为圆心以两定点连线段为半径的两个圆上找，找到以后再列式或列方程求解；

3. 若用2的方法较繁或三角形中至少有两个顶点动，则考虑将三边长度字母化，即将三边用同一个未知数表示出来，然后分类讨论列方程求解；

4. 若从边的关系很难将三角形三边用同一未知数表示出来，则从角的关系去突破，先看看有没有特殊角，若有，则利用特殊角带来的等腰三角形两夹边的比值列方程求解（如等腰三角形底角为30度，则夹这个角的两边之比为1∶3）。

5. 若无特殊角，则利用等腰三角形两底角相等带来的新的关系（如相似、全等、平行、新的等腰三角形等等）求解。（当然，此规律要在实践中加以完善）

二、从特殊到一般找到突破口

数学中有一类题依据一般条件很难找到思路，如一些规律探索题，这时可启发学生退到一些简单的特殊情形，通过特殊情形的解决，寻找规律，实现原问题的解决。如下例题：

例3：如图8，已知直线l：y=-x-1，双曲线y=1x，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…记点An的横坐标为an，若a1=2，试求出a2013的值。

分析：这个问题很难直接找到解题思路，可退到简单的特殊情形，通过计算，不难发现：当a1=2时，a2=-32，a3=-13，a4=2，a5=-32，于是可知a1至a2013的值是三个三个循环出现的，于是问题得到了解决。

三、把问题映射到另一数学领域中去

把问题映射到另一数学领域中去，在初中数学中更多地体现为用数形结合的思想解决问题。如下例：

例4：求代数式x2+4+（12-x）2+9的最小值。

分析：这个问题利用常规的代数方法求解很困难，但若学生习惯于用数形结合思想去思考问题，由a2+b2容易想到直角边为a和b的直角三角形的斜边。于是可构造几何图形来求解。

如圖9所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数x2+4+（12-x）2+9的最小值。

数学中很多的代数问题都可以通过构造图形来解决。同样图形的诸如形状，大小和位置关系的确定问题也常需要用代数的方法来解决。

四、类比联想出思路

当解题陷入困境时，有时可对问题做整体的观察和分析，然后进行新旧知识和题目的联想分析来解决问题。例如：

例5：求出函数y=x+4x（x>0）的最小值。

此题用不等式的性质可以解决，但初中学生不熟悉。而当学生利用常规的函数最值模型和构造几何图形无法求解时，教师要启发学生反思回顾初中哪几类代数式模型是可以求最小值的。同时与学生回顾用配方法求二次函数y=x2+4x+5的过程。然后启发学生用配方法求出函数y=x+4x的最小值。

总之，如果学生在解题时思路受阻，教师要反思原因，在查漏补缺的基础上，要引导学生认真审题、理清解题思路，更要善于反思和总结出一些普适性的顺推和逆推规律。同时要善于化繁为简，多角度地作类比联想分析。这样就能从根本上提高学生的解题能力及数学学习能力。