考虑记忆性质与时间滞后效应的非线性经济周期模型分析

林子飞，徐 伟

(1.西安财经大学 统计学院，陕西 西安 710100；2.西北工业大学 理学院，陕西 西安 710072)

一、引 言

Goodwin经济周期模型中自发函数的形式主要有三种类型：常数、周期函数、随机函数[1-2]。Goodwin的研究中将自发函数设为常数零，并且经过动力学分析可以得到一个稳定的极限环[3]。Strotz和Lorenz等都研究了自发函数为正弦函数形式的周期作用力，其对应了经济系统中如气候、政治、物价等周期性的变动[4-5]。许多学者也研究了随机函数形式的自发函数[6-8]，如：李佼瑞等计算得到了宽带噪声激励下的Goodwin模型的首次穿越失败的概率[6]；李爽等研究了随机噪声作用下的Goodwin模型的混动预测与控制问题[8]。

将Goodwin模型中的自发函数设为周期函数和随机函数相结合的自发函数形式，可以同时将周期作用力和随机扰动对经济周期波动的影响加以研究。对于窄带噪声激励的动力系统的研究，戎海武等通过多尺度方法，研究了窄带噪声激励下的非线性动力系统的响应[9]；Xu等利用摄动法与多尺度方法相结合研究了含有分数阶、粘弹阻尼的随机非线性动力系统的响应问题[10-12]；李佼瑞等研究了随机周期作用激励下非线性Goodwin模型的随机响应问题，得到了时间滞后现象对经济周期波动振幅的具体影响[7]；林子飞等研究了随机周期作用下含有分数阶导数的Goodwin模型的随机响应问题[13]。

在实际的系统当中，经济变量的时间记忆性质是不能忽视的，在笔者之前的文章中，分数阶导数描述了宏观经济政策制定过程中产生的时间记忆性质，即决策者制定经济政策时会参考以前的经济政策与政策实施效果来制定新的经济政策。Machado等分析了来自32个国家2000—2009年的日内股票市场数据，结果表明股票价格的波动含有明显的时间记忆性质[14]。许多学者针对分数阶金融系统也展开了研究[15]。同样地，经济变量存在着时间滞后现象，比如投资决策到实际的投资行为之间存在一定的时间滞后，经济政策的制定到实施存在着时间上的滞后[16-17]；牛江川等研究了达芬振子的分数阶时滞PID控制问题[18]；Gori等研究了带有时滞的Keynesian模型的非均衡动力学行为[19]；Vliet等研究了金融市场中支付与利率的时间滞后现象[20]；Matsumoto等考虑了希克斯模型中投资与消费的时间滞后现象对系统局部和全局稳定性的影响[21]。在经济系统中，利用分数阶导数可以刻画经济变量的这种记忆性质，而经济系统中的记忆性质体现在宏观调控中制定的经济政策上，宏观经济的经济政策在制定之时必然参考了之前的经济政策的执行效果以及政策的制定过程。也就是说，过去的经济政策对目前的经济政策是有影响的，这就体现了经济政策制定时的记忆性质，这种记忆性质也体现在固定资产投资、投资决策中。林子飞等研究了高斯白噪声激励下的含有分数阶时滞的Goodwin模型中关于国民收入的稳态概率密度函数[22]。许多学者针对含有时滞的Goodwin模型也进行了深入的研究[23-24]。

本文在以上文献的基础上，考虑了经济系统中的时间记忆性质和时间滞后现象，建立了具有分数阶时滞的经济周期模型，并且考虑了周期函数与随机函数相结合的自发函数，利用多尺度方法来研究经济变量的记忆性质以及时滞现象对系统动力学特征的影响。

二、模型分析

考虑一个广义的窄带噪声激励下的分数阶时滞Goodwin型经济周期模型的一般方程：

(1)

ξ(t)=hcos(Ωt+γW(t))

(2)

其中h代表随机激励的振幅，Ω是随机激励的频率，W(t)表示标准的高斯过程，γ≥0。本文中，设h为小的正参数，所以ξ(t)表示窄带过程，其谱密度为：

(3)

选取Caputo定义分数阶导数：

(4)

利用多尺度方法，方程(1)的一致逼近解可以写成：

x(t)=x0(T0，T1)+εx1(T0，T)+…

(5)

(6)

将方程(5)和方程(6)代入到方程(1)，分离对比参数ε的同次幂，可以得到下式：

(7)

f(x0，D0x0)+ξ(t)

(8)

方程(7)解的一般形式为：

x0=A(T1)exp(iwT0)+cc

(9)

其中cc代表复数项，A(T1)是关于时间的慢变量函数。将方程(9)代入到方程(8)的右边，可以得到如下方程：

f(A(T1)exp(iωT0)+cc，

iwAexp(iωT0)+cc)+

(10)

对于分数阶微分，当T0较大时，方程(10)的右边第二项可以写作：

=(iω)αA(T1)exp(iω(T0-τ))+cc

(11)

在下面的研究中，只考虑系统的主共振响应，记Ω=ω+εσ，(Ω-ω)T0=σT1，并消去久期项，可以得到：

(12)

为了化简方程(12)，设：

(13)

另一方面由一个基本公式：

(14)

将方程(13)、(14)代入方程(12)，得到：

(15)

求解方程(15)，可以得到振幅a和相位η的解，因此可以得到方程(1)的近似解析解，振幅代表了国民收入在经济系统中周期性波动的幅度，得到振幅即可得到经济系统的周期性波动特征：

x(t)=a(εt)cos(Ωt-η(εt))+O(ε)

(16)

(17)

可以得到频率响应方程：

(18)

a=a0+a1，η=η0+η1

(19)

其中a0和η0是方程(18)的解，a1、η1视作稳态解附近微小的扰动。

将方程(19)带入到方程(15)，可以得到(a0，η0)的线性化方程，并得到随机微分方程：

(20)

利用矩方法，a1和η1的稳态一阶矩和二阶矩满足：

(21)

可以得到a1的一阶稳态矩和二阶稳态矩：

Ea1=0，

(22)

其中

(23)

因此可以得到方程(15)的一阶和二阶稳态矩：

Ea=E(a0+a1)=a0，

(24)

三、具有非线性投资函数的经济周期模型分析

考虑一个带有非线性投资函数的Goodwin型经济周期波动模型：

=εhcos(Ωt+γW(t))

(25)

其中x代表国民收入，β、κ、v代表经济系统的宏观调控强度和投资函数系数。根据方程(15)，可以得到方程(25)的关于振幅和相位方程，振幅表示经济系统发生经济周期波动时国民收入的波动幅度：

(26)

由此可以得到方程(26)的一阶和二阶稳态矩：

Ea=E(a0+a1)=a0，

(27)

其中

(28)

对方程(25)中的参数进行赋值，进行数值模拟以此来证明上述解析方法的有效性。在图1(a)和图1(b)中，可以看出解析结果和数值结果可以很好地吻合，这证明了解析方法的有效性；在图1(a)中，可以得到宏观经济波动的振幅有不稳定的解，由图1可以得到时滞现象对系统振幅的影响；由图1(a)和图1(c)可以看出，当不考虑系统的时滞现象时，在特定的频率范围内，系统会出现三个稳态解，其中只有一个是稳定的。当考虑系统的时滞现象时，系统在同样特定的频率范围内只有两个稳态解，同样其中只有一个是稳定的，而系统的频率岛现象消除了，这表明时滞现象对宏观经济波动的影响是显著的，经济决策过程中必须要考虑到时滞现象的影响。同样地，由图1(c)和图1(d)可以得到分数阶导数阶数对于宏观经济波动幅度的影响，与时滞现象对系统波动幅度的影响是类似的。图2是随机强度对于经济波动幅度的稳态概率密度函数的影响，从图中可以看出，随着随机因素的增强，经济波动幅度的稳态概率密度的峰值变小了，说明随机因素增强了经济系统的波动性，降低了经济系统的稳定性。

注：图中实线为解析结果，菱形为数值结果：ω=1，ε=0.1，β=0.1，κ=0.5，v=0.1，h=0.5，γ=0.01；(a)α=1，τ=0；(b)α=1，τ=2；(c)α=0.2，τ=0；(d)α=0.2，τ=0.5；(e)α=0.5，τ=0.5。

图1系统(25)考虑时滞与时间记忆性质变化的频率响应曲线图

注：ω=1，ε=0.1，β=0.1，κ=0.5，v=0.1，α=0.5，τ=0.5，h=0.5，Ω=1.1；(a)γ=0.075；(b)γ=0.2；(c)γ=0.45。

图2系统(25)稳态概率密度函数图

四、具有非线性消费函数的经济周期模型分析

下面将研究窄带噪声激励下的含有非线性消费函数的分数阶时滞经济周期波动模型：

=εhcos(Ωt+γW(t))

(29)

根据方程(15)，得到方程(29)的振幅和相位的微分方程，振幅表示经济系统发生经济周期波动时国民收入的波动幅度：

(30)

由此可以得到方程(30)的一阶和二阶稳态矩：

(31)

其中

(32)

对方程(29)中的参数进行赋值，进行数值模拟以此来证明上述解析方法的有效性。在图3中，可以看到解析结果和数值结果可以很好地吻合，这证明了解析方法的有效性；由图4(a)和图4(b)可以看出，当考虑宏观经济调控中时滞现象时系统会发生跳跃现象，也就是说当消费函数为非线性函数时，当宏观经济调控中存在时滞现象时，经济系统会发生状态的突变，这解释了经济运行中的突变现象；同样地，由图4(a)和图4(c)可以看出，当考虑经济系统的时间记忆特性时同样可以引发经济系统的突变，即随机跳现象，也就是说宏观经济调控中的记忆特性可以引发系统的突变，这对经济政策的制定具有十分重要的理论价值；图4(e)给出了周期作用力振幅大小对系统波动幅度的影响，可以看出，外部的周期作用振幅越大时系统的稳态解的振幅也越大，并且出现跳跃现象的频率范围也会随着外部的周期作用振幅的增大而增大。所以，根据图4可以得到如下的结论：宏观经济调控中的时间滞后现象以及宏观经济调控中存在的时间记忆性都可以引发经济运行的状态突变，所以计算宏观经济调控记忆性质和时间滞后现象对系统的影响对于经济平稳运行是至关重要的。图5是振幅的稳态概率函数，从中我们可以看出随机因素的强弱对于经济系统运行状态的影响，当随机强度逐渐增大，系统的稳态概率密度函数峰值变小，说明随机因素减小了经济系统的稳定性，增加了系统的波动性。而且，当随机强度变化时，稳态概率密度函数由单峰变为双峰，出现了稳态概率密度函数的分岔现象。

注：实线为解析结果，菱形为数值结果；ω=1，ε=0.1，β=0.5，δ=0.5，α=0.8，τ=0.1，h=0.5，γ=0.01。

图3系统(29)频率响应曲线图

注：ω=1，ε=0.1，β=0.5，δ=0.5，h=0.5，γ=0.01；(a)α=1，τ=0；(b)α=1，τ=1.3；(c)α=0.2，τ=0；(d)α=0.5，τ=0.5。

图4系统(29)考虑时滞与时间记忆性质变化的频率响应曲线图

注：ω=1，ε=0.1，β=0.5，δ=0.5，α=0.5，τ=0.5，h=0.5，Ω=1.1；(a)γ=0.075；(b)γ=0.2；(c)γ=0.45。

图5系统(29)稳态概率密度函数图

五、结 论

本文建立了窄带噪声激励下的分数阶时滞经济周期波动模型。利用多尺度方法得到了一般宏观经济波动模型的解析解，同时得到了非平凡解的一阶和二阶稳态矩。通过对具有非线性投资函数和非线性消费函数的宏观经济波动模型进行分析，可以得到分数阶导数阶数与宏观经济调控中时滞现象对于宏观经济波动的影响。当经济系统含有非线性投资函数时，经济系统的记忆性质和时间滞后现象都可以改变系统稳态解的个数，而且可以消除频率岛现象，这意味着经济系统的波动性质也发生改变；当经济系统含有非线性的消费函数时，宏观经济调控中的时滞现象以及宏观经济调控中存在的时间记忆性都可以引发经济运行的状态突变。外部的随机扰动减小了经济系统的稳定性，增加了系统的波动性，而且在含有非线性消费函数的经济系统中，随机扰动可以引发系统的稳态概率密度函数发生分岔现象。