通过“多维度”提升职高学生解题的思辨力

易清良

关键词：多维度  思维方法  变式

人的智慧是以思维力为核心的智力整体结构，而数学是思维的科学，因而数学又被称为“内心科学”。数学教学由传授知识的單一性作用转向教学功效的多元化作用，故而数学教学既是数学知识的教学，更是数学思维方式的教学，在教会职高学生数学知识的同时，更要让他们知道知识是如何发生、获取和应用的。

为了让更多的学生认识数学本质并完成知识建构，逐步理解数学思想方法，建立科学的思维方式，养成对事物进行理性思考的习惯，从根本上提高学习能力，教师首先要从职高学生的实际出发，营造出一个高度和谐的课堂。其次要精心整合教学素材，打造高效低耗的课堂教学。这样，既可以化解职高学生数学水平与教材内容不匹配的矛盾，又能促进学生思维的全面提升，让师生通过数学教学开启一段启迪智慧之旅。

职高学生是职高教学的主体。教学的认识活动能否完成，要以学生认识成效为依据。教必须落实到学上，要让学生真正成为学习的主人，有学习的自主权，使学生能够主动地、进攻性地学习专业知识，探索新知识，发展新见解，从而达到真正自主学习的目的。在进行数学教学过程中，受时间、进度、精力所限，许多教师只顾自己讲授，不理学生的接受;只讲方法，不管原因;只讲结论，不谈过程，导致许多职高学生对数学学习有一种恐惧心理和畏难情绪。为了营造出一个高度和谐的课堂氛围，必须从职高学生的实际出发，去实实在在地了解他们知道些什么、知道得是否全面、还有哪些方面是模糊不清的。所以，在进行数学教学时，教师要尽可能关注学生的动态，通过心灵沟通去打动和影响学生;尽量全面揭示数学问题的实质，将枯燥的数学学习变得生动有趣;努力创设学生熟悉、擅长的情境，重视知识产生和发展的过程，让数学不再是神秘莫测的学科，而是可亲可近的知识，更多地关注数学思想对学生的熏陶以及学生素养的提高。

一旦教师掌握了解决数学问题的思想方法，就能变化出生动的结论，数学就能显示出其无穷的魅力。唯有这样，学生才能“亲其师，信其道，笃其行”。

一、维度一：重视方法起源，开展投石问路，加快思维进度

作为人类认识世界、改造世界的重要工具之一的数学，它的基础知识和基本技能是重要的。从数学的发展历程中，教师可以设置几个疑问点：问题是怎样提出的，概念是怎样形成的，结论是怎样探索和猜测到的，以及证明的思路和计算的想法是怎样形成的。这样，学生在教师的引导下，以学习主人的心态了解、参与数学知识的发生过程、思维的展开过程，改变被动学习、机械训练的状况，发挥学生的主体性，以此来加快学生思维完善的进度。

案例1：函数y=（x2+ax+1）1/2的定义域为R，求a的取值范围。

第一次面对这样的数学题，大部分职高学生无从下手。

台阶1：此时教师把问题改成方程x2+ax+1=0，问何时有两解？何时有一解？何时无解？

学生：根据二次方程根的判别式：△>0时有两解;△=0时有一解;△<0时无解。

台阶2：函数y=x2+ax+1整个图像都在x轴的上方，试求a的取值范围。

学生1：与x轴无交点。

学生2：△>0。

学生3：不对，应该是△<0。

教师：△>0时图像与x轴有几个交点？△<0时图像与x轴有几个交点？

台阶3：不等式x2+ax+1≥0的解集为R，试求a的取值范围。

学生3：很简单，△≤0。

问题：函数y=（x2+ax+1）1/2的定义域为R，求a的取值范围。

学生1：不等式x2+ax+1≥0的解集为R，所以△≤0。

学生2：以上所有的问题的关键是△，就叫判别式法吧。

评析：学生无法下手解决的问题，大多数是因为读不懂题目，不明白题目所表达的意图，那么，试探法无疑是拨开云雾、理清思路的最有效办法。通过引导学生去寻找判别式法的发源地，使学生身临其境地体验它的诞生和应用，为今后的灵活运用打下了坚实的基础。

数学教学应让学生在获得知识的过程中，逐步形成科学的思维方式，培养学生认真求实，追求效率的学习态度和习惯。这种（判别式法）来源于实践，又服务于实践的辩证唯物主义观点在课堂中很自然地得到体现。

二、维度二：依据教学内容，创设变式训练，把控思维梯度

在职高数学教学中，不一定要求教学内容非常严谨，但是解题方法是严谨的。课堂教学的本质是提升学生思维的活跃度。在课堂教学中，教师适时变动一些教学内容，创设一些变式练习，让学生在变式中思辨：哪些问题是形式在改变，而问题的实质没有变;哪些问题是问题的形式没有变化，而问题的实质发生了根本的变化。在变和不变中，引导学生思辨问题的本质，参透知识的关联性。

当然，教师创设问题时，必须依据学生的实际情况，把握思维的梯度，台阶不能太高，也不能太低。尤其是不能让学生有跳跃感，要适度地提升问题的难度，形成合理的知识迁移。有效地控制教学的思维梯度，从而拓展学生的思维深度。

案例2：在进行交、并集的运算讲解时，教师首先采用简单数集的交并集的求法。如：A={1，2，3}，B={3，4，5}，求A∩B以及A∪B。学生们也深刻理解了交集与并集的概念。

为了提升思维的深度，教师安排了以下问题：

变式1：集合A=（1，3），B=（2，4），求A∩B以及A∪B;

变式2：集合A=（1，+∞），B=（2，4），求A∩B以及A∪B;

变式3：集合A=（1，+∞），B=（2，+∞），求A∩B以及A∪B;

变式4：集合A=（1，+∞），B=（-∞，4），求A∩B以及A∪B。

评析：通过以上的变式，可以逐渐加深对概念的理解，问题由浅入深地发生变化，但解决问题的方法和思路没变，这就强化了学生对这一问题的认识。通过这类问题的解答，可以帮助学生树立信心，增强解题的勇气，获得成功的喜悦。

衡量一堂课的质量高低，不仅仅是看教师的教学方法、教学形式和教学手段的展现，更主要的还要看课堂思维容量的大小，学生思维密度和强度如何。也就是说，要看教师对课堂的是如何进行精心设计和科学安排的;教师对于较难的问题，在进行教学时是否有意识地将其分解，通过解题训练培养学生的自信心，让学生体验学习成功的快乐，然后再慢慢引申，循序渐进地引导学生寻找条件和结论之间的联系，展示知识发生、发展的过程。实践证明，通过这样的教学，学生明白了知识的来龙去脉，就会记得牢，用得准，就能实现由懂到会，由会到掌握，由掌握到灵活运用的飞跃。

三、维度三：优化教学手段，串联相近知识，提升思维高度

波利亚认为：“数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里得方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”编织知识网络，寻找所学内容主线，在主线的引导下，以全新的逻辑链和职高学生的思维链将原来知识重新梳理与整合，挖掘知识的内在联系。在教学中要做到串点为线，聚线为面，面中显点，以点带面。

教学方法对于学生来说非常重要。因此，在教学过程中，教师要合理地选用一些教学手段，把一些相互联系的知识点串放在一起，这样，既可以让学生复习旧知识，还可以习得解决问题的方法和形成解决此类问题的思维模式。在知识的差异变化中，分辨自己存在的错误。知识在思辨中形成，解决问题的能力在思辨中提升。

案例3：在三角函数学习结束后，为了串联相近知识，根据职高学生的实际情况，教师编制如下问题。求下列各式的值：

1.2sin15°cos15°  2.cos15°cos15°

3.cos20°cos40°cos80°

4.sin15°+cos15°   5.sin15°+cos15°

这一组练习基本采用配凑法，通过乘一个数，除一个数，把三角里面的二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式、两角和的余弦公式都串联在一起，使学生有了对三角公式的充分理解。

评析：由于教学内容在编排上有层次性，难度上有梯度性，同时教师在课堂教学中，留出大量的时间让学生参与教学活动，让他们动手动脑，主动探索，自己发现规律并归纳结论。这样灵活多样的教学方法，就能使教学效果令人满意。所以，教师要注意把握教学的主线，做到泾渭分明，注重知识间的联系，帮助学生建立一个良好的认知结构。如果说，没有系统的知识，好比一盘散落的珍珠，无从下手，那么良好结构的知识就像一串精美的珍珠项链，排列有序，拿一颗就能戴起整串。

采用这种利用相近知识点来解答同一道习题的教学手段，不仅可以有效地巩固学生的知识基础，而且可以强化教学的强度，即在职高学生可以接受的程度上适当地提高教学的强度，不仅能够有效地提高学生的上课积极性，激发学生的学习热情，还可以使学生在这种强度较高的教学中提高自身的思维强度。

四、维度四：分析问题本质，更新解题方法，提升思维高度

职高学生在解决数学问题时，通常显得反应迟钝或无助，很大一个原因是对解题方法理解得不够到位，导致不能灵活运用知识。其实，认知是要有一个曲折的过程的，要尊重学生的认知特点，发扬民主，认真倾听学生的观点，关注学生思维的火花，同时注意艺术性地引导启发，适时介入学生的探究活动，调整他们的思维方向，让学生不断加深对知识的理解程度，切实提高思维能力，提升思维高度。

案例4：方程x2sina+y2cosa=1。

试讨论0°≤a≤360°方程所表示的曲线。

这样的问题呈现时，大部分学生会停留在椭圆的层面上。

教师：a=210°时，sina=？cosa=？那么方程表示什么曲线。

学生：方程不表示任何图形。

教师：那我们选一些特殊角来分析。

让学生讨论：根据0°≤a≤360°范围可选哪些特殊角来代表？学生讨论分析得出以下情况：

1.a=0°，sina=0、cosa=1，y=±1方程表示两条直线;

2.a=30°，sina=、cosa=，方程表示椭圆;

3.a=90°，sina=1、cosa=0，x=±1方程表示两条直线;

4.a=120°，sina=？、cosa=？，方程表示双曲线;

……

评析：学生从第一象限到第四象限，从x轴的正半轴到y轴的负半轴，认真分析、归纳。在此过程中知识从直线、椭圆到双曲线，方法从特殊值法到一般法，思维从具体到抽象。通过这样的辨析和反思，更新解题方法，使学生的思维得到很大的提高。

人们常说，学一门手艺很重要，但换一种思维更重要。面对纷繁复杂的世界，我们应当敢于打破挡在自己面前的这扇门。能够及时改变自己，用思辨的眼光去看问题，提高自己对问题的解决能力。在夯实职高学生基础的同时，不断刷新思维高度。这样，数学教师也能成为学生心目中的建筑学家。

五、维度五：关注职高学生成果，提倡一题多解，拓展职高学生思维

注重思维多元化，提倡一题多解，对于同一题目，用不同的方法来解决。在解决问题的过程中，学生习得职高数学的相关知识，更是习得了数学的一些方法。形成了自己架构的知识网络，对所学知识起到了一个融会贯通的作用。提高了学生综合运用数学知识与驾驭数学知识的能力，使知识结构更加完善。一题多解还可以提高学生自我验算的能力，一题多解从多角度思考分析，使用多种解法，殊途同归，答案是相同的。学生可以用一题多解来判断原来解法是否正确。另外一题多解还可以提高学生灵活运用知识、灵活转换角度来解题的能力，让学生敞开思维的翅膀，在知识的空间尽情地翱翔，这大大有利于培养学生的创造性思维。

案例5：有5名学生站在一起照相，甲、乙两位同学不能站在一起，共有多少张不同的照片。

学生出现了以下两种解法。

解法一：（插空法）由于甲乙不能站一起，先把其他三名学生排定，再把甲乙排在其他三人的中间。根据方法可得：3×2×1×4×3=72种。

解法二：（剔除法）5名学生，没有任何要求的排法为：5×4×3×2×1=120种。甲乙两人站在一起的排法种数为：2×4×3×2×1=48种。总的排法减去不符合要求的排法：120-48=72种。

评析：教师对以上解法进行较详细评价，并提升总结此种类型题目的方法。让学生能通过总结，达到用同一题目引导学生转换视角、根据题目的变化的需要适当进行选择的目的。一题多法的变式训练有助于学生掌握这种方法的特点，拓展他们在解决放缩问题上的思维角度，将所学的知识纵向加深，横向沟通，寻求不同解法，其灵活运用知识能力体现得淋漓尽致。采用这种方法不仅有利于提高学生对数学的认识，增强其思辨能力，提升其分析问题和解决问题的能力，更为重要的是通过学生再研究的过程，可以使他们在体验的过程中，提升自己，找到超越的快乐、发现的快乐。

数学教学不能仅仅停留于数学知识的获得和解题技巧的掌握上，更重要的是要注重學生数学能力的提升、数学思想的形成和健全人格的养成。所以，教师在数学教学中，不仅要注重积极营造宽松、和谐、民主的师生活动氛围，让学生登山则情满于山，观海则情溢于海，还要注重内容的活泼多样，思维的层层深入。这就要求教师不能就题论题，而要善于变通，通过对典型问题进行详尽的剖析、变式，多维度揭示问题中蕴含的数学思想和方法，如此才能使学生对所学知识进行充分理解和掌握运用，进而提升他们的解题思辨力。

参考文献：

[1] 罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2008.

[2] 陈旭.探寻问题的本质，发现问题的解法[J].中国数学教育，2018（5）.

[3] 胡国生.高中数学课堂中数学思维差异的探究[J].中学数学教学参考，2017（10）.

[4] 张涛.引导学生思考，发展核心素养[J].中学数学教学参考，2018（9）.

（作者单位：富阳区职业教育中心）