一束带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题的解题策略探究

摘 要：高中物理核心素养里的科学思维是物理学习的一个重要方面，通过构建“一束带电粒子在匀强磁场中的运动”模型，讨论了在直线和圆形边界两种磁场中的情况，以此解决一束带电粒子在磁场上运动的问题并培养学生的科学思维能力。

关键词：模型构建;一束带电粒子;有界磁场;先整体再局部

一束带电粒子垂直磁场方向进入面积足够大的匀强磁场中，因为粒子个数多，所以在匀强磁场中的轨迹是多个完整的圆。这些圆因入射时的速度、入射位置的不同呈现出不同的形态，但又有一定的几何规律。如果我们先建立一束带电粒子在面积足够大的磁场中运动的模型，再把这一模型放入面积不是足够大的有边界的磁场中，即在完整的轨迹圆上画符合题意的磁场的边界，先见整体，再见局部的策略可以有效地解决一束带电粒子在匀强磁场中的运动问题。

一、 在面积足够大的匀强磁场中的模型建构

一束带电粒子进入磁场中有三个要素：电性、入射点和速度。在带电粒子的电性已确定的情况下，带电粒子进入磁场中会因入射点、速度方向或速度大小的不同造成以下三种情况：①入射点相同，入射速率相等但速度方向不同。②入射点相同，入射方向相同但速率不等。③入射方向相同，速率相等但入射点不同。

由此可以建构三种模型：①带电粒子的各轨迹圆大小相同且都经过入射点，各圆可绕入射点旋转，称为旋转圆。②带电粒子的各轨迹圆虽大小不同但都内切于入射点，各圆可以入射点为基点进行大小的缩放称为缩放圆。③带电粒子各轨迹圆大小一样，各圆可在平面上平移，称为平移圆。我们把这三种带电粒子的运动轨迹圆模型称为“三圆模型”。

在面积足够大的匀强磁场中建立起来的模型里，轨迹圆都是完整的。如果磁场并非足够大而是有边界的，则带电粒子在磁场中的运动轨迹圆就不是完整的圆，而是一段圆弧。我们先画完整的圆，再画磁场的边界，结合带电粒子在磁场中是顺时针绕行还是逆时针绕行来确定哪段圆弧是真的轨迹，哪段圆弧只是为了圆的完整性而画的，从而确定轨迹和磁场边界的关系。下面以各地的高考题为例，分磁场边界是直线的和圆形的两种情况讨论。

二、 “三圆模型”在直线边界磁场中的应用

（一） 旋转圆在直线边界磁场中的应用

【例1】 （2015年四川理综第7题）如图1所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面内的长度L=9.1cm，中点O与S间的距离d=4.55cm，MN与SO连线的夹角为θ。板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=2.0×10-4T，电子质量m=9.1×10-31kg，电量e=-1.6×10-19C，不计电子重力。电子源发射速度v=1.6×106m/s的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长l，则（）

A. θ=90°时，l=9.1cm

B. θ=60°时，l=9.1cm

C. θ=45°时，l=4.55cm

D. θ=30°时，l=4.55cm

解题策略：此题中电子入射点相同，入射速率相等，方向不同，是旋转圆模型。我们先画出电子在磁场中的完整的旋转圆，再画平板。经过计算得知轨迹圆的半径为4.55cm。把电子的轨迹圆绕s点旋转。电子在磁场中做逆时针匀速圆周运动，当板竖值即θ=90°電子能打到整个平板上。当θ=60°时，打到板的最上端的电子的轨迹圆和板相切，且切点在O点上方。只有当θ=30°时电子的轨迹圆和板相切于O点，被电子打中的平板长为ON。所以这题的答案为A、D。此题不仅利用了电子的旋转圆，平板MN也可以绕O点旋转。从θ=90°顺时针旋转到θ=30°，从而比较方便的找出和平板相切的圆，充分体现了旋转这种科学思维。画旋转圆时可引导学生借助身边圆形的物件比如硬币、钥匙扣等进行旋转画圆。

（二） 缩放圆在直线边界场中的应用

【例2】 （2011年海南高考物理第10题）空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图2所示。图中的正方形为其边界，一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力。下列说法正确的是（）

图2

图3

A. 入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同

B. 入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同

C. 在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同

D. 在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大

解题策略：此题中虽然是两种粒子，但这两种粒子比荷相同，故周期相同，半径取决于速率。入射点相同，速度方向都向右，是缩放圆模型。先画几个完整的缩放圆再把磁场的正方形边界画上去，可以看出从同一竖值边界飞出的带电粒子在磁场中运动的时间是相同的，但轨迹可以不同。速率是相等的圆的大小就是相同的，轨迹就是相同的。所以答案选BD。缩放圆的圆心在和初速度垂直的直线上，画缩放圆可以利用圆规。

三、 “三圆模型”在圆形边界磁场中的应用

（一） 旋转圆在圆形边界中的应用

一束带电粒子从O点沿各个方向飞进圆形边界的磁场中，因磁场圆的半径和轨迹圆的半径关系存在下面三种情况：①若磁场圆的半径比轨迹圆的半径小，粒子带正电（下同）可以从磁场圆的任意位置飞出。在磁场中运动时间最长的粒子是弦长是磁场圆的直径，如OA。②若磁场圆的半径和轨迹圆的半径相等，粒子只能从磁场圆的右侧飞出，且飞出速度都水平。 ③若磁场圆的半径比轨迹圆的半径大，带电粒子只能从磁场圆的右边的某段小于半周的圆弧飞出。且粒子打到磁场圆上的最远点时弦长为轨迹圆的直径，如OB。为了得到上述关系，画图时先画完整的旋转圆，再把磁场圆按半径的大小不同画到旋转圆上，就很容易看出带电粒子是从磁场圆的哪部分飞出的。

【例3】 （2017年全国卷Ⅱ18题）如图4，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为（）

A. 3∶2B. 2∶1C. 3∶1D. 3∶2

解题策略：此题中带电粒子在磁场圆中的出射点的分布都不足半圆周，说明磁场圆的半径是大于轨迹圆的半径，当弦长刚好为轨迹圆的直径时粒子能打到磁场圆上的最远点。由几何关系容易得出答案为C。

（二） 缩放圆在圆形磁场边界中的应用

【例4】 （2012年安徽理綜19题）如图5所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度V从A点沿直径方向射入磁场，经过时间Δt从C点射出磁场，与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为V/3，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为（）

A. 12ΔtB. 2ΔtC. 13ΔtD. 3Δt

解题策略：在缩放圆的模型上画上圆形磁场，要求初速度方向指向磁场圆的圆心，如图6。由图可以看出速度越小，轨迹圆的半径越小，在磁场圆中的圆弧所对应的圆心角越大。速度变为原来的1/3，半径也变为原来的1/3，由几何关系知圆心角是原来的2倍，所以磁场中运动的时间也变为2倍，答案选B。

四、 结束语

一束带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题因为粒子的轨迹圆众多，学生普遍感觉到烦琐和困难。教师如果能够带领学生对这部分内容进行梳理，建立合理的模型，采用先画完整的轨迹圆再画符合题意的磁场边界，让学生既有对带电粒子运动轨迹图像的整体把控，又有局部的分解，学生对题目也就有了较高层次的理解。通过带电粒子在匀强磁场中的运动模型分析，让学生很好地建立了科学思维能力的一般方法，提升学习物理的兴趣和能力。

作者简介：

董航俊，浙江省兰溪市，兰溪市第一中学。