妙用数形结合，让初中生数学解题思路更清晰

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(黄冈中学北京朝阳学校)

数学作为一门研究数量关系和空间图像的重要学科，是将社会规律和自然规律结合的一种有效工具和语言。数形结合利用了数量与图形之间特有的关系，将数量与图形相互转换，将抽象和模糊的问题变得具体和实际，化复杂为简单，是一种简化问题的数学思想方法。

一、数形结合的意义

一般来说，初中阶段涉及的数学知识较为抽象，学生对于完全理解这类知识难免有一些困难。在初中数学教学中，教师应当注重数量与图形的结合问题，使学生得以更为直观地理解这一类知识点，更加清晰地分析题目所给出的条件，寻找到正确而简洁的解题思路，逐渐培养自己的逻辑思维能力和空间想象能力。这样的方法能够激发学生对数学的兴趣，并且大大提高学生的解题能力。

二、初中数学内容本来就蕴含数形结合思想

通俗而言，数形结合就是代数与几何相结合，这在初中数学中无处不见。

1.有理数中蕴含数形结合思想

有理数的加法法则、乘法法则都是通过数字结合图形总结归纳出来的，每一个有理数都可以在数轴上找到相对应的点，因此，比较两个有理数的大小，实际上是通过这两个有理数在数轴上对应点的位置来比较的。又比如绝对值、相反数是通过数轴上的点到原点的距离来表述的。

2.不等式蕴含数形结合思想

在“一元一次不等式和一元一次方程不等式组”的教学中，由于学生对于不等式组理解不深刻，通常把不等式解集代入到数轴中帮助学生理解，使学生直观地理解“不等式有无数个解”这一概念。

3.函数蕴含数形结合思想

许多学生对函数的概念不清楚，并且对函数这一知识点的理解十分模糊，因此，教师通常把一次函数表达式y=kx+b带入到直角坐标系中理解。事实上，把函数放到直角坐标系中，绝大部分函数题能够得到解决，而且学生对于数学的理解会变得更加深刻。

4.应用题蕴含数形结合思想

在解答初中数学的行程问题、工程问题、统计问题的时候，都可以画出相应的示意图，来表示相互之间的关系，直观、形象，而且一目了然。

三、妙用数形结合，让初中数学解题思路更清晰

1.以数解形，进行精确分析

在初中数学中，图形直观是“形”的一大优点，可是“形”也有不逮之处，有时候直接观察简单的图形却看不出规律，这时候就需要用代数来分析计算。

例1.求直线y=2x-2与抛物线y=x2+3x-2的交点坐标。

通过分析本题，可以在直角坐标系中大概画出该直线与抛物线的图像，并发现它们的交点，却无法准确求出交点的坐标，图形简洁直观，却并不精确。这时，我们便可以借助“数”，交点的坐标同时满足直线和抛物线，我们便可以把交点的横坐标和纵坐标当作直线和抛物线方程组的解，这就是以数解形。

2.以形助数，思路变得直观

从例题1中，我们可以体会到当“数”与形相结合时效果惊人，“形”具有直观、形象的特点，并且能将复杂的思维简便地表达出来，将枯燥无味的数学理论用图形表达出来，使枯燥的数学理论变得更具有趣味性，也让学生做题时的思路变得十分直观。当我们遇到非常复杂的题目而束手无策时，便可以将形的问题合理地转化为数的问题，把图形的位置关系具体地转化为数量关系，再对所得数量关系进行分析和计算。

例2.解不等式x-1≥-x2+2x+1

分析：在面对二次函数不等式时，初中学生常常感到困惑，为此我们可以用图像法来解决此类问题。令y1=x-1，y2=-x2+2x+1，然后在同一坐标系中画出函数y1和y2的图像，函数y1在y2图像上方对应的范围就是此不等式的解集，因此解此不等式需要先求出函数y1和y2的交点(2，1)，(-1，-2)，然后观察图像，得出结论：x≥2或x≤-1。

3.数形变换，思维更加清晰

无论以数解形还是以形助数，都充分地向我们展示了数形结合的优势，其实我们在解决实际问题时，许多的数学问题普遍能运用到数形结合。当然，我们要做到的不仅仅是以数解形或是以形助数，而是需要灵活地转换二者，学会灵活变通，理解题意，才可以有效地运用数形结合，将数学问题化难为易，拓展解题思路，找到便捷有效的解题方法，提高解题效率。

数形贯穿了初中数学的两条主线，也就是数量和图形，数形结合不仅帮助学生提高学习效率，还提高了学生对学习数学的兴趣。不论是从数到形，还是从形到数，无一不需要学生具备代数运算、图形转换的基础和习惯。妙用数形结合解题，能让抽象的问题具体化、复杂的问题简单化、粗略的问题精确化，从而拓宽思维范畴，让解题思路更清晰。