一道试题的解题析题展示*

福建省漳州市第三中学 吴 攀

福建省平和第一中学 赖平民

解题析题是数学教师必须具备的一种基本能力，析题是教师在解题的基础上，从学生的角度对试题的解题方法、解题依据和实施过程进行分析，并在此基础上挖掘试题的背景和变式，让学生在析题中学会解决问题.解题析题常从分析试题考查的基础知识入手，分析试题考查的数学能力、数学思想方法和数学核心素养.通过分析试题的亮点，指出试题的侧重点和设置脉络，通过分析试题的设计理念，指出试题发挥的评价功能和教学导向功能，并引导学生进行解题反思，反思试题表述是否符合逻辑，总结解题方法，并反思方法能否再优化，能否变式，能否挖掘试题背景或相关结论等.

本文拟以一道函数导数解答题为例进行析题展示，以期抛砖引玉，求教于同行.

一、展示题目

（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数g（x）在R 上存在最大值0，求函数f（x）在［0，+∞）上的最大值；

（Ⅲ）求证：当x≥0 时，x2+2x+3≤e2x（3-2sinx）.

二、析题分析

本题主要考查函数的单调性与最值、函数的图像与零点、导数的综合运用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.本题通过在函数、导数、三角函数三处设置知识交汇，试题设问脉络清晰，层层递进，符合《课程标准》的设计理念，很好地考查了学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，立足基础，关注过程.

第（Ⅰ）问：

已知条件：g（x）为f（x）的导函数.

解决的问题：求函数g（x）的单调区间.

数学语言：讨论a，判断g′（x）的符号.

解题分析：g（x）=f′（x）=x+a-aex，则g′（x）=1-aex，（含有参数a，无法确定导函数符号正负，如何确定讨论标准？因为ex＞0，确定讨论标准为a≤0 和a＞0 两种）当a≤0 时，g′（x）≥0，所以g（x）的单调递增区间为R，无减区间；当a＞0 时，解得x＜-lna 时，g′（x）＞0，x＞-lna 时，g′（x）＜0，所以g（x）的单调递增区间为（-∞，-lna），单调递减区间为（-lna，+∞）.

第（Ⅱ）问：

已知条件：g（x）在R 上存在最大值0.

解决的问题：f（x）在［0，+∞）上的最大值.

数学语言：（1）对x∈R，gmax（x）=0，求a；（2）对x∈［0，+∞），求fmax（x）.

解题分析：由（Ⅰ）知，a＞0 且g（x）在x=-lna 处取最大值，g（-lna）=a-lna-1，则a-lna-1=0，观察易得a=1.（a=1 是方程a-lna-1=0 的唯一解吗？不确定时如何处理？有几种思路？通过常用对数不等式lnx≤x-1 当且仅当x=1时，等号成立，下面通过导数给出方程根的唯一性的严格证明，证明略）所以由题意知f ′（x）=g（x）≤0，所以f（x）在［0，+∞）上单调递减.所以f（x）在x=0 处取得最大值f（0）=-1.（本试题的背景为麦克劳林展开式ex=f（0）++…易得不等式由此命制试题）

第（Ⅲ）问：

已知条件：x≥0.

解决的问题：x2+2x+3≤e2x（3-2sinx）.

数学语言：令h（x）=e2x（3-2sinx）-（x2+2x+3），求证h（x）≥0 在x∈［0，+∞）上恒成立.

解题分析：证明此类不等式的常用方法有直接构造函数法、综合分析比较法、替换构造法、放缩法、不等式两边取最值法等.此题我们先选用直接构造法进行解题尝试.令h（x）=e2x（3-2sinx）-（x2+2x+3），化为求h（x）在［0，+∞）上的最小值，求得h′（x）=2e2x（3-2sinx-cosx）-（2x+2），如何研究导函数零点？考虑二次求导，发现h″（x）=2e2x（6-3sinx-4cosx）-2=2e2x［6-5sin（x+φ）］-2≥2e2x-2≥0在［0，+∞）恒成立，可知h′（x）在［0，+∞）上单调递增，可得h′（x）≥h′（0）=2，所以h（x）在［0，+∞）上单调递增，可得h（x）≥h（0）=0恒成立，原式得证.

解题反思：我们常说，没有无缘无故的第（Ⅰ）问，前两问是否对第（Ⅲ）问有所提示，从而得到不同的解题思路？我们说此类证明不等式问题常可以通过放缩法处理，下面我们做不同解法尝试.由（Ⅱ）知，若a=1，有ex≥化为x2+2x≤2ex-2，所以x2+2x+3≤2ex+1，原题即证2ex+1≤e2x（3-2sinx），即证ex［ex（3-2sinx）-2］≥1，因为当x∈［0，+∞）时，ex≥1，所以只需证ex（3-2sinx）-2≥1.即证ex（3-2sinx）-3≥0在［0，+∞）上恒成立.构造函数 φ（x）=ex（3-2sinx）-3，x∈［0，+∞）.易证得φ（x）≥0（证略），原题得证.至此，我们通过分析法和指数不等式放缩得到新解法.

三、总结思路，解题反思

本题通过构造函数求导，运用导数的工具探究函数的单调性和最值，当一次导函数含参数时，常考虑因式分解后进行分类讨论，若不能按如上处理，常要二次求导，或化为乘积函数部分求导，若观察不出零点时，常考虑虚设零点研究问题.本题第（Ⅲ）问入口宽，不同的方法各有优劣，让学生在已有的解题经验上，突破思维限制，获取新的解题经验.同时我们不难看出本题的第（Ⅲ）问命题手法类似于2014 年新课标全国卷Ⅰ理科第21 题和2011 年新课标全国卷Ⅰ理科第21 题.

本题能否变式呢？基于上述反思，我们可对试题进行适当的拓展变式：

变式二：其他不变，第（Ⅲ）问改为：求证当x≥0 时，x2+2x+3≤e2x（3-2cosx）；

解题析题的前提是要会解，其次才是析，这就要求执教者在平时的教学中扎实自身的学科素养，潜心研究试题，感悟试题，将解题教学与学生的学相结合，达成师生共同成长的良好局面.F