一个中心，两个基本点——谈数列的专题复习

江苏省海安市曲塘中学 陈宏春

数列是高中数学的主干内容之一，在高考命题中既有解答题也有选择和填空题，约占20分.数列因其规律性强、题型多变、求解方法多样等特点，所以成为学生复习的难点.基于此，本文针对高三专题复习提出了“一个中心，两个基本点”的复习建议.

一、一个中心

一个中心是指以特殊数列为中心，这里所说的特殊数列，主要是指等差、等比数列.这两个特殊的数列是数列整章内容的核心，各类数列问题均与等差或等比数列有着千丝万缕的联系，甚至最终转化为等差或等比数列进行处理.因此，对等差、等比数列有关内容的掌握是数列复习的重中之重.其中主要包括如下几个方面：

（1）定义：定义是判定一个数列是否为等差或等比数列的主要方法.

（2）通项公式：是数列概念的本质体现，等差数列的通项公式具有一次函数的性质，等比数列的通项公式具有指数函数的性质.

（3）等差、等比中项：体现了数列中相邻三项之间的关系，以及在此基础上得出的重要性质：对于等差数列{an}，若m+n=p+q=2t，则am+an=ap+aq=2at，对于等比数列则有

（4）数列的前n项和公式及其最值问题.等差数列的前n项和公式具有二次函数的性质，当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值.

（5）单调性：对于等差数列{an}，若d＞0，则{an}为递增数列；若d＜0，则{an}为递减数列.对于等比数列{bn}，若b1＞0，q＞1，则{bn}是递增数列；若b1＜0，q＞1，则{bn}是递减数列.若b1＞0，0＜q＜1，则{bn}是递减数列；若b1＜0，0＜q＜1，则{bn}是递增数列.

（6）周期性：若数列{an}对于任意的正整数n，存在常数T，使得an+T=an，则{an}是以T为周期的数列.

下面简举两例说明：

例1 （2019年全国卷Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（ ）.

A.16 B.8 C.4 D.2

解析：设等比数列{an}的公比为q，由a5=3a3+4a1，得a1q4=3a1q2+4a1，即q4-3q2-4=（q2-4）（q2+1）=0，因为q＞0，所以q=2.

故选C.

说明：本题考查了等比数列的通项公式、求和公式，体现了数列的基本量法在解题中的应用.

例2 已知数列{an}满足an+an-1=n（n≥2，n∈N*）且a1=-1，则a10=______，其前2k-1（k∈N*）项和S2k-1=______.

解析：由an+an-1=n得an+1+an=n+1，两式相减得an+1-an-1=1，进而可知数列{an}的奇数项与偶数项分别是以1为公差的等差数列.

当n为奇数时，因为a1=-1，所以

当n为偶数时，因为a2=3，所以

因为当n为偶数时，a1+a2，a3+a4，a5+a6，…是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

说明：本题所给数列的奇数项与偶数项分别是以1为公差的等差数列，故数列的通项或求和均应分n为奇数和偶数两种情况进行讨论.

二、两个基本点

两个基本点，即数列的两种必考题型，求数列的通项公式、前n项和.几乎所有的数列问题，都是围绕这两个基本点展开的.

1.求数列的通项公式

求一个数列的通项公式除等差与等比数列以外，通常有两种题型：

一种是给出前n项和公式，这里既包括前n项和Sn与n的关系，也包括Sn与an的关系，可利用应用此公式解题时要注意对n=1进行检验.

例3 （2019年全国卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0，a5=5，则（ ）.

A.an=2n-5 B.an=3n-10

C.Sn=2n2-8n D.Sn=

解 析：设Sn=An2+Bn，由已知得S4=0，S5=5，所以解得所以Sn=n2-4n，Sn-1=（n-1）2-4（n-1），即an=Sn-Sn-1=2n-5.经检查，当n=1时，也符合.

故选A.

说明：本题求解中利用了数列的前n项和公式为二次函数的性质，利用待定系数法求得Sn，再利用公式an=得到通项公式.

另一种是给出递推关系求通项公式，常用方法主要有：叠加法、叠乘法、构造新数列法，其中难点是构造新数列法，所谓的新数列，其实就是等差或等比数列.构造的方法主要有待定系数法、取倒数法、平方法、取对数法等.

例4 已知数列{an}满足：a1=2且N*），则数列{an}的通项公式为______.

说明：本题求解中利用了“取倒数法”和“待定系数法”构造新数列为等比数列，进而求得数列{an}的通项公式.

2.求数列的前n项和

若数列的通项为“等差+等比”型，可利用“分组求和法”；若数列为“等差×等比”型，可利用“错位相减法”；若与首、末两项等距的两项之和为定值，可利用“倒序相加法”求解；若数列的通项为如下几种形式，可利用裂项相消法求和：

因前三种类型较为固定，请同学们自行练习，下面对裂项相消求和法的应用简单举例：

例5 （2019年浙江卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4，a4=S3，数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

解析：（1）an=2n-2，bn=n2+n.（过程略）

所以C1+C2+C3+…+Cn＜2

说明：本题第（2）问求解中通过先放缩，再裂项相消求和，放缩的工具利用了不等式的性质.

另外，数列问题常与不等式、函数、导数等交汇考查，成为高考试卷的压轴题.总之，数列的复习，围绕“一个中心，两个基本点”展开，必能收到事半功倍之效.F