解题教学：关注多样性，强调严谨性——由一道例题的教学引发的思考

☉江苏省如皋市石庄镇初级中学 姚建梅

解题方法和解题策略是初中数学教学的重要内容.在日常教学中，教师不仅要引导学生发现正确便捷的解题方法，而且要努力将《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下称《课程标准（2011版）》）提出的“鼓励和提倡解决问题策略的多样化”落到实处.当然，追求解法多样化的同时，我们还应注意引导学生发现解法的优劣，并明晰解法的适用题型及范围.只有关注了解法多样性与严谨性，才能借助解题教学提升学生分析问题和解决问题的能力.本文拟结合七年级上学期一道例题的解法及其教学分析谈谈笔者的思考，供大家参考.

一、例题及解法分析

1.例题及其教学背景分析

例题：若m-n=-1，则（m-n）2-2m+2n的值为______.

教学背景：笔者将其选作人教版“2.2整式的加减”的教学例题，究其原因，有二：一是本题涉及的是整式的加减、有理数的运算、代数式的化简求值等知识，与本课时所学知识吻合；二是解本题有可能用到整体思想、转化思想，对七年级学生体会这些数学思想的价值有着较好的作用.为了充分发挥本题的教学价值，笔者在学生自主解答时，进行全班巡视，找出了多种不同解法，然后通过小组交流与全班交流共享了解题方法，辨析了解法的优劣，明确了解题注意点，帮助学生形成个性化的解题路径.

2.解法分析

通过对例题的分析，笔者发现了三种学生能够接受且容易想到的解法.

（1）整体代入法：我们可以将（m-n）当作一个整体，代入到整式中求值.这种解法的难点在于确定-2m+2n的值.从本节课的教学看，可以逆用乘法分配律进行操作：从-2m与+2n两项中同时提取-2，-2m+2n=-2（m-n）=2，再整体代入求得结果.当然，如果学生对等式的性质有较深的理解，我们也可进行等式变形，两边同时乘-2得-2m+2n=2，同样将其整体代入求值即可.

简析：整体代入法无需考虑单个字母m或n的取值，只需将代数式变形为含（m-n）的式子的形式，整个求解过程需要用到乘法分配律或等式的性质等，如果对这些数学核心知识掌握得比较好，化解问题是不难的.这种解法具有较强的普适性.然而，由于“提取-2”和等式“两边同时乘-2”所用到的都是后续知识，虽然小学已经学习，但对含字母的式子在小学并没深入探索，想要所有学生用好这种解法，难度不小.

（2）特殊值法：取m=1，n=2，代入到整式计算即可.

简析：对于填空题或选择题而言，特殊值法的优势是明显的.当然，这里m、n的取值未必一定是m=1，n=2，只要能使m-n=-1成立就行，无论哪一组取值对于以选择或填空形式呈现的客观题都是适用的.而对于解答题，这种方法是不行的.解答需要呈现完整的计算与推理过程，用特殊取值代替一般情形来进行计算是不允许出现的.

（3）变形代入法：由m-n=-1可得m=n-1，将其代入代数式得（m-n）2-2m+2n=（n-1-n）2-2（n-1）+2n=（-1）2+2=3.

简析：这种方法，通过变形将题中的字母m转变成含字母n的代数式，再将含有n的式子代入，经运算消去字母n，求得结果.其最大的优势在于，无需考虑m、n的取值，通过恒等变形、代入运算就可以直接消去字母，达成求值的目的.然而，第一步所进行的恒等变形，必须建立在学生对等式性质有较充分认识的基础之上，如果不是很熟练，学生难免会在符号上出差错，导致无法准确求出结果.

二、教学简录及感悟

1.教学简录

教师安排学生自主解答，并在全班找寻不同解法.3分钟后，安排学生小组交流，要求他们在组内核对结果，分享思路.

在组内交流结束后，教师组织了全班交流，让学生说说自己的思路.有学生根据解答选择、填空题的经验用特殊值法求解，教师及时肯定了其方法，并追问：如果是解答题，这么做行吗？特殊值法适用于哪些类型的题目？进而明确特殊值法的适用题型.

在让学生另选m、n的值求值后，教师引导学生交流解法1和解法3并就这两种解法的共性优势进行了分析，明确：无论是整体代入，还是变形代入，两种方法都与m、n的值无关，只需代入消去代数式中的字母，就可求得结果，因而，这两种方法具有普适性，对于各种题型都适用.

最后，教师请学生选择一种与已用解法不同的方法重新解答.在得出答案后，教师引导学生对比三种解法，明确其适用题型，交流解题注意点，要求能根据具体题型合理选择解法，注意符号的变化、数值的替代等细节，尽可能不犯一些低级错误，确保得出正确的结果.

2.简析

教师让学生先自主解答例题，用自己的知识与经验求得结果.在接下来的小组交流中，教师不仅让学生在组内核对解题的结果，还要求他们分享解题的思路.全班交流时，学生首先给出的是他们比较熟悉的特殊值法，在解法分享的基础上教师与学生通过辨析，进一步明确了特殊值法的适用题型.在学生再次体验取值求值后，教师引导学生交流了代入求值的方法及其共性之处.最后，教师还安排学生用与自己解法不同的方法重新进行求解，并对解法适用性、解题注意点等进行再度明确.

三、几点感悟

1.解题教学应注重思路分析

解题教学是数学教学的重要内容.任何一名数学老师都会重视对例题的分析及其解法的交流.笔者认为，解题教学是提升学生发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力最有效的路径.因而，我们应重视解题教学的设计与实施，尤其应重视解题思路的分析和解题过程的分享.在数学教学中，无视学生思维过程展示的教学一定是无效的教学.因此，解题教学应注重对求解思路的分析.要在帮助学生梳理既得思路的同时，找寻出他们思维的闪光点和障碍点，推动他们形成较好的分析问题和解决问题的思维模式.这或许就是解题教学的价值所在吧！对本文中的例题，笔者就遵循这样的理念进行教学设计.无论是组内交流，还是全班交流，教师始终将解题思路的交流放在首位，这样的长期坚持也必将会引发学生重视解题思路分析的规范化和模式化，从而早日形成个性化的思路分析模式，为更多数学问题的解决提供思维路径范式.

2.解法对比应强化求同存异

解题教学中，解法对比是绕不开的话题.对于一些可以从不同角度解决的数学问题，我们在探索不同解法的同时，更应将这些不同解法在教学过程中强化对比，找寻共同点，分析差异处.解法对比时，我们可以从解题的过程、用到的知识、适用的范围等角度分析解法的相同之处，这是将不同解法归类并找寻一般解法的基本路径，而这同样是找寻解法差异点的切入口.在上面的教学简录中，教师在引导学生交流解法1和解法3时，引导学生发现这两种方法都是代入法，只不过一个是将m-n当作一个整体代入，一个是将给定的等式变形为m=n-1后再代入而已.两者的本质均是等量代换、转化，所以，教学过程中教师始终围绕两种解法均“与m、n的取值无关，只需代入即可消去代数式中的字母，进而求得结果”的共性之处展开交流.这对学生很好地体会“这两种方法具有较强的普适性，对于填空题、选择题和解答题都是适用的”是非常有利的.至于不同解法之间的差异之处是客观存在的，对于这些差异我们应尊重并进行客观分析，确保学生今后在解题时不至于选错解法.

3.解法选择应关注题型异同

解法选择在解题教学中同样重要.解题教学，教的是一道题的解法，服务的却是一组题或一类题.为了彰显解题教学的核心价值，我们应在“解一题，会一类，通一片”上多下功夫.试想，面对茫茫题海，如果没有解法的归纳与优选，每一道题目都有一种解法，那该学习多少种解法啊！学生的思维又该有多累啊！所以，解题教学，应重视解法的甄别与选择的教学.对于这一点，所有数学老师是有共识的.只不过要注意的是，选择解法要特别关注其适用性.尤其是一些较为独特的方法，比如本文中的特殊值法，只能适用于填空题和选择题，而解答题不可以“用特殊情形去代替一般情形”，文中给出的整体代入法或变形代入法，均不涉及字母的取值，是一种代数式的恒等变形与替代，所以解决与本文中例题类似的数学问题时，我们一定要让学生明白三种解法的适用题型，确保不出现解题误用.这一切，在解题教学时务必加以明晰，并让学生形成较深刻的记忆.W