改进点集拓扑教学的策略研究

吉 蕾

(晋中学院数理学院，山西晋中030600)

在现代数学众多分支中，点集拓扑是一门基础学科，同时也是本科数学专业的必修课程，它的理论和方法在数学的许多分支学科中应用广泛，同时也为其他一些相关学科提供了研究方法和语言。点集拓扑的学习有助于构建学生的学科知识结构、培养学生的抽象思维能力、提高其分析问题和解决问题的能力，为学生进一步学习和研究近代数学奠定必要的基础。作为一门理论性较强的学科，点集拓扑内容抽象难懂，学生普遍反映这门课程概念难以理解，内容枯燥乏味，方法不易掌握。加上近年来由于教学计划和课程体系不断改进，其课时数也在逐渐减少。因此如何在课堂上充分调动学生的学习积极性，如何让学生掌握该课程的理论与方法，如何提高学生的学习能力，是我们亟待解决的现实问题。本文从教学存在的问题出发，针对我校点集拓扑的实际教学情况，提出了几点改进意见。

1 点集拓扑的教学现状

点集拓扑是在学生具有一定的数学基础知识和能力之后开设的一门理论性较强的课程，一般安排在大三第二学期或大四第一学期开设，它和数学系本科专业的其他课程不同，基本没有可计算的内容，知识点高度抽象，逻辑性较强。学科内容上先介绍基本概念，然后是对相关定理、推论及证明的学习，教材举例也较少，即使举例也较抽象，远离实际生活。国内大部分院校都采用讲授法，基本上以教材和讲解为中心，学生学习知识比较被动，形式古板，方法单一，课堂气氛不活跃，师生之间缺少互动，这样必然导致学生“上课抄讲义，下课背讲义”“考试背笔记，考后全忘记”。通过对我校学生的调查走访，大部分学生对这门课程不感兴趣，学习热情不高。他们对课程内容理解不深，只学会了具体的知识，并没有系统掌握点集拓扑的思想方法及原理。学生们觉得这门课程概念太抽象、难以理解，即使听懂了也是一知半解，对于课后题目更无从下手，有时为了应付考试只能死记硬背，觉得学无所用，更谈不上知识的应用和能力的培养，教与学严重分离，更远远偏离教学目标。

2 改进教学现状的策略研究

2.1 切实提高学科趣味性，激发学生学习点集拓扑的兴趣

俗话说：“兴趣是最好的老师。”学生一旦有了兴趣，就会产生学好点集拓扑的直接动力。首先，提高学生的学习兴趣，教师起关键作用。教师是课堂活动的组织者、引导者，教师在课堂上应体现对这门课程的感情，充分体现对知识的认识和追求，以此感染学生。教师在课堂上若全身心投入，富有激情的讲课取代照本宣科，学生就会被教师的情绪所感染，随着问题深入所产生的喜悦感油然而生，学习兴趣也逐渐增强。其次，要以学生为主体，根据具体学情来设计课程。比如富于启迪的“绪论课”。由于这门课程比较抽象难懂，而且“拓扑学”这个词学生之前虽然听过但并不了解，所以，一开始并不要急于介绍课本上的理论知识，而应遵循循序渐进的原则，上一堂富于启迪的“绪论课”，可起到事半功倍的效果。绪论课上，通过几个有趣的例子，比如一笔画、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想、Euler数[1]等，让学生思考并联系过去学过的几何问题，讨论其不同点，在此基础上引导分析总结这类问题的特点，进而提出这门课程的研究对象及中心任务。紧接着介绍拓扑学的发展历程、拓扑学的分支学科等，通过科学史的介绍，不仅使学生了解了拓扑学的由来和发展趋势，而且培养了他们的历史意识和发展意识。以这样的方式开始点集拓扑的学习，不仅使学生有一个初步的感性认识，避免了恐惧心理，而且增强了学习的主观能动性。

2.2 注重概念的形成过程，提高学生的抽象思维能力

2.2.1 利用对比和类比法突出概念的本质与联系

概念是抽象思维的起点，点集拓扑的每一个定理、推论、性质都是在概念的基础上经过推导而获得的。所以在这门课程的教学中，应注重概念的讲解。如果直接介绍概念，学生会认为这门课内容空洞乏味。但若对比已有的知识来提出新概念，学生会认识到点集拓扑的概念不是天上突然掉下来的，而是由于解决问题的需要，并在已有的知识经验基础上自然而然引入的，是合情合理的。

例如，在学习度量空间之间映射在一点连续的定义时，我们不妨从数学分析中函数在一点连续的定义出发，即对任意的，存在使得当时，有经由度量概念抽象为实数空间的球形邻域的形式，即对于任意的存在时，便有进而把这种形式推广到任意两个度量空间之间，这样，度量空间之间映射在一点连续的定义自然推得，同时也易于学生的接受。

又如，可以通过对比数学分析中数列的性质，来进行拓扑空间中序列的学习。通过分析共同点和不同点，学生便理解了为什么在一般的拓扑空间中需要通过开集来刻画映射的连续性，而不能用序列收敛的性质，即极限来刻画。通过这种形式，学生感受到点集拓扑中概念的形成过程，理解了它们都是从实数空间出发，通过不断抽象而形成的，不会再觉得这些概念无中生有，理解起来也游刃有余，大大提高了学习的积极性。

2.2.2 抽象思维与形象思维相结合，充分体现点集拓扑的几何性

作草图是数学教学中常用的手段和方法，在教学中为了更好地解释所讲的概念和内容，可以用作草图的方式来进行讲解。比如拉格朗日中值定理、定积分的定义等都可以借助直观图形来讲解，这样学生不仅能深刻理解和掌握所学知识，同时抽象思维与形象思维相结合又能提高学生的逻辑思维能力。由于高度的抽象性，点集拓扑大部分概念或内容不能通过直观图形来描述，尽管它是一门几何学，但是我们可以“把某个概念或内容看作或想象成某图形”[2]，这样学生可以通过具体图形来建立相关概念，同时还能克服厌学情绪，提高学习积极性。

例如在讲凝聚点、孤立点概念时，可以借助欧氏平面上相应的图形来直观的解释。开集的概念可使用开圆来作例子，讲到同胚概念时可以形象地说成是一块橡皮泥X在不允许隔断的情况下捏成另一块橡皮泥 Y。同时还可借助数学软件展现一些图形，例如圆柱面、环面、Mobius带、Klein瓶等，从而解决有些学生因缺乏空间结构意识和空间想象力而造成的理解困难，提高了课堂效率。点集拓扑直观形象的教学手段受到其课程特点的限制，如何使其多样化，需要我们在具体教学实践中不断总结和发现。使得当

2.2.3通过举例深刻理解概念的本质和内涵

由于点集拓扑所涉及的概念非常抽象，在讲完概念之后大多数学生只了解其内容并没有理解其本质。在教学中常常出现学生听懂了所讲的内容但不会做题的现象，这直接影响了学生学习的自信心，究其根本原因还是没有对所讲概念充分理解。例如，在介绍拓扑和拓扑空间的概念时，如果只讲定义，学生只知其然不知其所以然，教材上虽有例子但都是特殊拓扑空间的例子，学生听后会感觉这个概念好像是凭空想象出来的，例子是为了澄清概念而构造出来的。其实“拓扑”是由度量空间中开集的性质出发抽象而来的。在讲完定义后举例：设集合z={a，b，c}，令容易验证T1，T2都为集合 X 上的拓扑，但(X,T1)，(X,T2)作为拓扑空间是不同的。通过这个简单的例子，学生不仅学会了如何验证一个集合的子集族是否为这个集合的拓扑，而且对“拓扑空间”这个概念有了更深刻的认识：同一个集合，赋予不同的拓扑就构成不同的拓扑空间，其开集也就不同，所以在涉及拓扑空间时，关键是拓扑。

又如在讲“关系”及相关概念时，学生一开始对这种表述形式可能有些茫然，没有真正理解其涵义，可以通过分析例题“设集合试求R(A),R-1(B)，R的值域和R的定义域[3]”来加深学生对相关概念的理解。除此之外还可举一些实际例子来解释所讲内容，比如覆盖鱼身上的鳞片再多也是有限的，可以形象地来说明“紧致性”这个概念。教学过程中恰当的举例不仅可以帮助学生有效地理解和掌握所学的内容，同时还可以调动学生的学习积极性，保证教学效果，提高教学质量。

2.3 注重课程的实用价值，高观点地指导中学数学教学

点集拓扑是理工科相关专业的一门基础课，这门课程通常是内容多、课时短。如何在有限的课时内既让学生学到了知识，又培养了能力，为其在日后工作中学有所用，是值得思考的问题。在一般师范类院校讲授点集拓扑时不需要像综合性大学，特别是重点大学那样深奥，内容也不必很多，但是要体现师范的特色，即建立点集拓扑与中学数学的联系。大部分学生包括有些老师可能会认为点集拓扑与中学数学没有联系，其内容在中学数学教学中基本用不上，似乎只是为继续深造的学生开设的。事实上，点集拓扑的某些思想已融入到中学数学教材中，一些课外读物中也会出现关于拓扑学的通俗知识，例如中学解析几何的一些变换本质上是拓扑学中的同胚；凸多面体的面数、棱数和顶点数之间的关系其实是拓扑学中的欧拉示性数问题；在原始社会古人为了捕到猎物把猎物围在中间，只要猎物不冲出包围圈就一定会被捕获，其实是约当曲线问题，等等。所以在讲授这门课程时不能只是一味地推理证明，而应多加思考，把中学数学中体现拓扑学思想的内容穿插在相应的地方介绍，这样不仅能提高学生的学习兴趣，而且使学生能够用较高的观点来探讨分析类和几何类中的若干问题，对日后的教学工作具有指导性的意义。

2.4 改革成绩评定方式，注重过程性考核，全面提高学生的综合能力

我系采取“平时成绩×30%+期末成绩×70%”的方式评定学生成绩，且平时成绩的评定随意性较大，主要依据作业情况和出勤情况给出，基本形成期末考试定成绩的局面。这就导致很多学生平时不加强学习，期末时靠死记硬背来应付考试，远远偏离综合素质培养的目标和要求。因此有必要对成绩评定方式加以改革，注重过程的考核，促进学生知识、能力、素质的全面提高。例如可以加重平时成绩的比例，由30%上升为40%，考核方式也可以多样化，除了作业完成情况和到课情况外，还可分章节设计单元测验，布置撰写小论文或课程报告，组织课堂讨论(也称课堂随机口试)，进行有限开卷考试等。总之，应从改革成绩评定方式入手，注重过程的考核、能力的考核，鼓励学生以各种方式展示自己的学识和才能，使学生把握好学习过程的每一个细节，同时作为教师，应积极投身考试改革，不断探索新的理论课程考核评估方式。

点集拓扑是一门抽象的理论课程，如何增强学科趣味性，提升学生的学习体验是值得我们深入思考的问题，这个永恒的话题，需要我们在实践中不断总结、丰富和完善。