知识与方法共存 思维及智慧齐飞——一道函数题命制的立意思考与命制经历

☉甘肃省天水市第一中学 宫前长

高中数学教学中，常常通过各种考试检测学生在数学学习过程中对数学概念的掌握、数学方法的应用、数学思维能力的提升以及学生的数学核心素养的养成到达哪一个层次（学得如何？）；同时也能够检查教师自身在数学教学中对教材的处理、数学概念的讲解、数学微专题等方面的启发、引导和拓展处于哪一个阶段（教得如何？）.要想得到比较科学、准确的判断结果，数学考试题目命制的质量是关键.笔者依据多年的命题经验，积累了一些命制试题的经验和思考，与各位同仁分享.

一、明确命题思想与理念

数学命题的思想与方向是命题的总目标以及命题的价值取向，需要受到高度重视，不可忽视.既要掌握命题的核心功能：立德树人、服务选拔、导向教学，指明为什么考的理由.又要更加凸显“立德树人”的教育功能，从而确定了命题将从能力立意时代走向素养导向时代.

数学考试的宗旨是测试学生对高中数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的掌握，命题的立意经历了知识型、技能型、能力型三种考试，当前考查达到素质型核心素养的高要求考试，对学生考查的内容要求逐步提升，这就更加需要教师研究：如何命题？如何命制好题？这是每一位数学教师必备的基本功.

新课标中明确指出：数学核心素养就是要求学生通过数学学习达到：用数学的眼光（直观想象与数学抽象）看待世界（一般性）；用数学的思维（逻辑推理与数学运算）分析世界（严谨性）；用数学的语言（数学建模与数据分析）表达世界（广泛性）.对数学试题的命制，一定要凸显“三用”的终极目标，这样才能够命制出高质量的题目，以此来突出数学学科本身的理性思维以及数学文化命题的创新与弘扬.

二、掌握命题原则

数学命题的五个原则：思想性、科学性、公平性、时代性与创新性.在试题设计过程中应注意研究科学、准确、规范的表达方法，使每一道试题严谨、简明，突出数学学科的特点，准确表达题意，为每一位考生理解和解答问题创造条件.尤其在思想性、公平性和创新性方面更要体现出来，让学生感受到时代感以及数学核心素养的价值所在.

三、规范命题重点分布

试卷考查是对高中数学知识内容的整体性考查，还要按照相应的知识点、考法、核心素养以及难度系数等要求，体现出命题是以核心素养为指导中心，试题具有基础性、综合性、应用性与创新性等四个特性.命题重点一定要强化主干知识，强调知识之间的交叉、渗透和综合.坚持考查有价值的数学，强调对数学本质的认识.在命制试题时要充分关注考查的数学内容、试卷结构和试题难度三方面的立意，每一套试卷要涵盖试题所要考查的内容，突出重难点，形成以知识点、能力和创新为主的三维细目列表来命制题目.

四、命制试题一般步骤

1.确定立意，设置框架

试题分为三类题：选择题、填空题和解答题.选择题1-6题属于基础题，主要考查最基本的知识点与方法，容易入手并能顺利得分，数学计算量小；选择题7-10题、填空题13-14题与解答题17-19题属于中档题，主要考查基本的数学思想方法以及常见的思维方式，有一定的数学运算量和较大的思维量，尤其是解答题主要考查一些典型、常规和经典的数学思维方法与解题方法（通性通法），命制试题处于“难度稳，背景新”的表述范围；选择题11题、填空题15题及解答题20题属于较难题，设问简捷、审题相对较易一些，主要考查数学中的重难点，只要学生的数学功夫（思考、审题、解题）到位，还是可以取得较高的分数；选择题12题、填空题16题及解答题21题属于难题，有很好的区分度，担负着选拔出尖子生的重任，但其中的第1小问仍然会设置一些引导性问题，为学生探索解题思路做铺垫，驱使学生逐步深入，不会让学生感到束手无策，真正起到拉分、加大差距的使命.

2.注重方法、强化能力

数学的审题方法、解题方法都是需要考虑的问题，最关键的是如何将数学知识点（考点）的考查、数学思想方法的考查（考法）、以及数学核心素养的考查作为重点来命制试题.其中对数学的通性通法的考查是命制试题解法的不二法则，但对数学能力、核心素养的考查是命题永恒的追求.

下面以特殊的指数函数y=ex作为知识点来举例说明试题的命制过程，将函数的单调性、周期性和对称性融入其中，设置一个函数的零点问题，考查函数的图像、函数的性质、函数的零点等问题，同时要体现函数的对称性（奇偶性），自然就能够很好地涉及数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

第一次拟题：立意与选材

构思：设想三个条件：函数f（x）为偶函数；周期T=2；若x∈［0，1］时，y=ex-1.

一个目标：函数f（x）在［0，3π］上的零点个数.

命题意图：利用指数函数y=ex将函数的三大性质全部融入其中，还要考查函数的零点问题，条件设置比较直白，能够通过画草图得到“零点个数”，学生比较容易理解，并能得到答案：5.但对学生思维能力的考查相对弱一些，对核心素养的考查更是微乎其微，因此达不到命题目标.

初拟题目：已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数. 若x∈［0，1］时，f（x）=ex-1，试求函数f（x）在［0，3π］上的零点个数.

解法：因为x∈［0，1］，则将函数y=ex-1的零点转化为方程ex-1=0的解x=0，由于函数f（x）的周期为2且为偶函数，故函数f（x）在［0，3π］上的零点个数是5.

剖析：分析条件和考查目标的设置方式以及与其相关的概念：周期、对称性（偶函数）和零点，并进行不同形式的表征，增加学生审题思维的力度和深刻性，提升对学生数学核心素养的考查强度与力度，极力向新课改所确定的课标靠近.

题目中的设问采用直接告知的方式，适合对基础知识的考查，但对于中档题来说，设问方式应该采用逆向方式或复合方式，从而体现出思维的广度、深度和高度.

第二次拟题：构题与磨题

根据对第一次拟题的剖析，为了增加思维的难度，继续打磨试题，从背景、文字、数式和图形等方面仔细推敲，或对已有的等式进行等价转化并形成新的表征，追寻有利于学生思维能力提升的试题.

方案1：条件“函数f（x）的周期为2”等价的表征为“f（x+2）=f（x）”；再将目标“函数f（x）在［0，3π］上的零点”添加上对数函数修改为“函数y=f（x）-lnx在［0，e］上的零点”，这样可以提高学生审题和解题的难度，且符合修改要求.

修改题1：已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+2）=f（x），若x∈［0，1］时，f（x）=ex-1，试求函数y=f（x）-lnx在［0，e］上的零点个数.

解析：因为f（x+2）=f（x），又有x∈［0，1］时，函数f（x）=ex-1是偶函数，则此时函数y=f（x）-lnx的零点问题就等价于方程f（x）=lnx的解，或者是函数f（x）=ex-1的图像与函数y=lnx图像的交点问题，画出草图，容易得到函数y=f（x）-lnx的零点个数是2.

注意：条件“函数f（x）的周期为2”等价的表征只有“f（x+2）=f（x）”，不等价的表征可以有以下几种方式①（fx+1）=-（fx），中①②③除了刻画了函数f（x）的周期T=2之外，还刻画了函数f（x）的其他“局部”性质.如①表明f（1）=-f（0）与条件“x∈［0，1］时，y=ex-1”相矛盾，此时往往误认为是区间［0，1］的“右闭”所致；②③反而强调“函数值不能为零”，自然与题设条件相矛盾.

方案2：将条件“若x∈［0，1］时，f（x）=ex-1”进行重建，可以涉及对数函数、三角函数、对勾函数或含绝对值的函数等等，但要注意的是学生能够通过函数的性质作出图像，或基本确定函数的大致走向（明确单调性，对称性或周期性等特殊性质），或在原有函数的基础上添加新的考查内容均可.（略）

第三次拟题：优化与定稿

根据拟题不断的修改，琢磨试题字词与符号歧义以及数学符号、附图、标点符号等陈述细节，其目的就是打造数学试题，使其具有：科学、准确、规范、严谨和简明的特征，突出数学学科特征，有利于学生理解题意、正确审题，而且能够凸显思维的广阔性与发散性，达到综合考查学生的学科素养的目的.因此，对所求函数y=f（x）-lnx的解析式添加绝对值运算，适当的调整为求函数y=f（x）-ln|x|的零点问题，对应的区间也由［0，e］拓展为［-e，e］.

修改题2：已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+2）=f（x），若x∈［0，1］时，f（x）=ex-1，试求函数y=f（x）-ln|x|在［-e，e］上的零点个数（答案为4）.

修改题3：已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+2）=f（x），若x∈［0，1］时，f（x）=ex-1，试求函数y=f（x）-|ln|x||在［-e，e］上的零点个数（答案为6）.

3.关注测试，正确评估

数学试题要想命制好，则需要不断的打磨，尤其在试题的科学性上达到完善才是命题的第一步，依照三维（考点、考法和核心素养）细目表的要求，优化数据，让学生解答起来容易理解，并且解法简捷，有多视角的思考方向和解法选择.命题彰显数学思想，淡化特殊技巧，强调数学思想和方法，着力关注数学试题的基础性、综合性、应用性、创新性来解决“怎样考”的问题，做到“三个避免”：避免需要死记硬背的内容；避免呆板的试题；避免烦琐的计算.

好的试题解答过程的表述能够体现出学生的思维逻辑、解法选择和数学知识、方法的掌握程度，同时也能够凸显学生遗漏的、理解不到位的、未掌握的数学内容.但对整套题来说，需要整体思考试题的结构、难度梯度、难点分布、设问方式（平行、递进）、试题区分度的设置等一系列问题，从而使其调整到恰当之处，不可顾此失彼.这样，不论是单题还是套题，都能够有效地评估学生的学习情况.

五、总结点滴，不断完善

试题命制过程是基于高中数学新课标的理念，以数学核心素养为指导的探究命制，对高中数学思想方法、数学核心素养的考查体现的淋漓尽致.同时也落实了数学教学的两个问题：“教什么”（理解所教的内容、思想方法、学科价值等）与“怎样教”（理解学生的认知起点、思维障碍及认知规律等）所对应的数学“学科”与“学习”的整体构建思维认知统一体.

1.命制试题注意事项：选择恰当策略，重视教育价值

命制试题首先要弄清三维（考点、考法和核心素养）细目表，把握命题涉及的重点、难点及热点；对比近年来模拟试题在命制某一内容时表现的稳定性、周期性和随机性；尽力凸显试题内容的“变与不变”，揣摩如何蕴藏命题的导向性；全力展示命制试题的意图，把握知识点、能力以及核心素养的考查特点.

2.命制试题掌握核心：从学科能力到核心素养

命制试题立足于教材的试题演变（基础性）与数学主干知识的考查（重点性）；确保源于考题的自身演变（稳定性）与注重题型的创新设计（综合性）；务必增添新背景下的题型（源）新改变（发展性）与突出通性通法的践行（能力素养价值），主要体现在：（1）注重从现实社会和生活实际中选取命题素材，（2）关注社会热点问题，（3）跨学科知识渗透题，（4）创新题型等四个方面思考命制试题，充分体现学生的数学视野、锲而不舍的精神以及对数学本质深层次的理解等核心素养.

3.命制试题导向功能：从“能力立意”到“素养导向”

数学试题的命制以能力为立意，素养导航为主线，全力打造数学学习的新形态，这也是时代发展的需要.利用不同的命制试题方式来考查学生：传统数学文化、数学学科本质、数学核心素养、数学个性品质的传承与研究、理解与掌握等.每一位数学教师在教与学的过程中要落实以立德树人为宗旨，这也是从“能力立意”到“素养导向”的育人过程中所要思考的关键之处.

总之，一套好试题在难度、区分度和效度三个方面的表现都会处于最优位置.任何命题大体要经历立意、设计、打磨、测试和评估五个环节.