基于数学史案例引导的高等数学教学研究

陈小蕾 郑立飞 解小莉

摘 要：传统的教学模式是讲授式的，不利于学生自主地参与教学活动。因此，在高等数学教学过程中，教师可以数学史为依托，将数学发展过程中比较有趣的故事或实际中较为贴近生活的案例放在课堂上，并结合理论知识进行讲解，充分调动学生学习积极性，将抽象的理论知识形象化。同时，教师也要结合专业特点，积极引导学生更好地了解数学、认识数学，发现数学的美。

关键词：高等数学；数学史；案例教学

中图分类号：G64 文献标识码：A

文章编号：1673-9132（2019）07-0005-01

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2019.07.001

高等数学[1]是本科教学中非常重要的一个环节，也是各个专业学生学习的难点。案例教学法是在实际问题求解的铺垫下构建数学知识，能够培养学生数学思维和创新能力。基于此，在课堂上引入知识点相关的数学史知识或有趣的小故事吸引学生的上课兴趣，以提高学生课堂兴致，从而提高课堂教学效果。

一、案例教学在高等数学课程中的注意事项

在使用案例或数学史内容进行数学教学引入时需注意几点[2]：（1）案例的选择。选择的案例需要和讲解的理论内容紧密相关，尽量具有趣味性和实用性，如果可以和学生专业相结合，效果更佳。（2）案例的分析。从实际问题或形象思维开始，提出与内容相关的问题，引发学生的兴趣与思考，带动学生积极参与课堂教学。（3）引入新知识。在进行案例的分析和结果运算中，将相关理论知识引入，既解决了实际问题，又将抽象内容形象化，且以实例引入，让知识结构更加完善。（4）案例的延伸。教师可以结合专业特点，列举相关案例，更好地锻炼学生对于理论知识的学习和应用。

二、案例教学法的实例

（一）利用希尔伯特无穷旅馆的数学诡辩引入无穷大

很多学生并不能将无穷大（∞）的定义正确建立，因此教师可以借助于希尔伯特无穷旅馆的数学诡辩给出形象的描述，使学生建立正确的直观概念。使用该案例时，教师需特别指出无穷大是一个变量，并非具体数值能够表示，并且该旅馆为理想化旅馆，现实是不存在的。

（二）利用最小曲线半径引入曲率

许多学生对数学有误解，不能很好地体会数学的意义，因此教师可以用一些非常实际的例子来引入和讲解抽象的定义。例如，对于曲率K=|y''|/[（1+（y'）^2）^（3/2）]，大部分学生对于曲率的认识只知道记住公式，而曲率有怎样的应用却不知道。如果先引入火车转弯时的弯度问题，也就是铁路上常用的技术标准——最小曲线半径，非专业的场合也称为“转弯半径”，其意义等于几何学上的曲线半径。这个数字的倒数能够反映曲线的弯曲程度，即曲率。那么，学生对于曲率的认识就是现实的、形象的，也知道这个定义和公式的价值，这能够更好地激发学生的学习兴趣。

（三）利用芝诺悖论（阿基里斯与兔子）引入数列极限

在高数学习初期，大多数学生仍然停留在形象思维阶段，对于抽象思维很难接受和理解。如果教师能够借助于形象思维进行辅助建立抽象的极限定义，就能帮助学生更好地从中学数学形象思维到高等数学抽象思维的平稳过渡。再借助于PPT动画演示，帮助学生建立正确的数列极限定义，并进行形式上、定义上、性质上的延伸和推广，形成系统性的数列极限定义。

（四）利用斐波那契数列引入二阶常系数齐次差分方程

选择斐波那契数列（Fibonacci sequence），以兔子繁殖问题进行引入，给出方程结构yt+2-yt+1-yt=0，定义二阶常系数齐次差分方程 yt+2+ayt+1+byt=0，然后给出满足方程的更多实例结构，例如：树叶的排列、一些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣）、蜂巢、蜻蜓翅膀等，帮助学生建立更深刻的概念，结合多媒体教学播放PPT图片或视频等，加强立体概念的建立，让学生将理论知识和实例应用直观结合，这既丰富了课堂内容，又让学生对专业知识有直观的认识。

类似这样的案例还有很多，比如利用安全车距引入微积分基本公式；利用两次经过同一个地点引入零点定理；利用银行贷款还款模型引入一阶差分方程；利用交流电引入傅立叶变换；利用导弹发射引入向量；利用科赫雪花曲线引入常数项无穷级数及其敛散性等。在介绍新知识点的时候，教师可将相关数学史的内容引入，介绍知识的产生、结构以及所要解决的问题等。当进入到课堂中后期后[3]，因为学生已经掌握了一定的理论知识，教师可以通过介绍实例并引导提问—多形式讨论—学生自主发表意见—教师总结或综合评论的形式，来进一步锻炼和提高学生相关知识中的判断、分析以及应用能力。具体课堂内容的实施，还需和其他教学方法相结合，共同解决数学教学过程中的问题。

三、结语

在高等数学中运用数学案例是对高等数学教学的补充和完善。尽管在现实教学实践中还存在着不少的问题需要不断总结和讨论，但对教学改革有着重要的影响。

参考文献：

[1]同济大学數学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]陈荣.试析高等数学案例教学法及其应用实践[J].时代教育，2016（24）：40.

[3]熊传霞.浅析案例教学法在数学课堂中的运用[J].科技资讯，2015（24）：140.