关于非线性系统辨识的恢复力曲面法和希尔伯特变换法

2019-01-23袁天辰陈立群

振动与冲击 2019年1期

袁天辰，杨俭，陈立群

(1. 上海工程技术大学城市轨道交通学院，上海 201620； 2. 上海大学理学院力学系，上海 200444;3. 上海大学上海市应用数学和力学研究所，上海 200072；4. 上海大学上海市力学在能源工程中的应用重点实验室，上海 200072)

非线性系统辨识受到越来越多的研究者的关注，通过系统辨识可以获得结构在大幅振动下的精确模型，这些方法主要分为频域方法和时域方法两大类。典型的非线性系统的频域辨识方法有Volterra和Wiener级数[1]、多尺度法MMS[2]和谐波平衡法HBM[3]。与频域方法相比，时域方法需要的数据量较少，但容易受到数据噪声的干扰[4]。时域方法中的恢复力曲面法(或称为力-状态映射法)[5]和基于希尔伯特变换的辨识方法[6-7]不需要事先确定非线性恢复力的形式，是纯粹的非参数识别方法，在系统辨识的过程中得到较广泛的应用。

恢复力曲面法通过构建恢复内力、速度和位移之间的三维点集，利用切比雪夫多项式拟合恢复力曲面或者利用截面法分离出其中的弹性恢复力和阻尼恢复力。基于希尔伯特变换的辨识方法，利用系统的自由振动或受迫振动响应，通过解析信号得到待辨识系统刚度和阻尼函数的表达式，构建响应信号的包络幅值和待识别系统刚度或阻尼函数之间的关系，达到辨识系统非线性刚度或阻尼函数的目的。然而该方法在辨识强非线性系统时，会受到响应信号中高阶谐波的干扰。由Braun等[8]提出的希尔伯特振动分解(Hilbert Vibration Decomposition, HVD)可以有效解决这一问题。邓杨等[9]提出了基于参数化时频分析的非线性振动系统参数辨识方法，改进了希尔伯特变换方法易受实验数据噪声干扰的缺点。Feldman[10]基于仿真数据对比了恢复力曲面法和希尔伯特变换法的区别，研究指出如果利用切比雪夫多项式拟合辨识结果，其模型系数的物理意义并不明确，且可能造成较大的累计误差。本文基于均匀薄板和压电双晶薄板的实验数据，进一步研究了两种方法在形成位移-刚度数据机制上的区别。结果表明，在有噪声的实验情况下，希尔伯特变换法能够得到更为平滑和精确的位移-刚度数据，在数值上更为稳定。

在通过非参数方法辨识得到系统的非线性特性曲线之后，就可以利用一个预设的函数模型(例如多项式函数)去拟合系统辨识得到结果，系统辨识问题也就转化为模型的参数估计问题，这一过程最常用的方法是最小二乘法。闫蓓等[11]提出一种带有投票机制的改进最小二乘法，成功剔除了异常值。以上研究成果均没有涉及对拟合目标数据选择的问题，Worden等在拟合时均选用位移-弹性或阻尼恢复力数据。本文从均匀薄板和压电双晶薄板的实验辨识问题出发，针对辨识数据的拟合问题，提出以位移-刚度函数为目标数据进行拟合，提高了小位移下数据拟合的精度。此外，还发现位移-刚度函数能比位移-恢复力函数更好的展现系统的非线性特性，为函数模型的选择提供更多参考和依据。

1 实验装置

本文对两种薄板进行了系统辨识，如图1所示：一种为均匀的黄铜薄板，厚度为0.2 mm；另一种为黄铜薄板和压电陶瓷圆片组成的双晶板，其中压电陶瓷的厚度为0.2 mm、直径为40 mm。两种薄板均由内径为56 mm的钢环夹紧，构成固定边界，中心均配有质量为74.4 g的倒锥形质量块。在实验中，钢环安装于激振台的台面上，台面加速度和中心质量块加速度由动态数据采集仪记录。

2 系统非参数辨识结果的数据拟合

2.1 恢复力曲面法的辨识过程

(1)

(a) 均匀薄板

(b) 压电双晶薄板

(2)

(3)

(4)

2.2 均匀薄板的辨识与数据拟合

实验中，均匀薄板装置受到60 Hz的正弦基础激励，激励幅值在5 s内从0自由地增加到2g。中心质量振动速度和位移时间历程通过数值积分得到，并应用低通滤波去除趋势项的干扰。采用恢复力曲面法辨识得到均匀薄板的位移-弹性恢复力如图2(a)中的散点所示。以弹性恢复力数据为拟合的目标，以三次多项式为函数模型，得到拟合曲线如图2(a)中的实线所示，其三次多项式系数见表1中“均匀薄板恢复力”行。其中，k1为线性项，k2表示系统的对称性，k3为立方非线性项。结果显示系统主要是含有三次立方刚度非线性，并具有轻微的平方项，可能是由装配中的轻微误差引起的。图2(a)中的点划线为弹性恢复力的线性部分k1。

表1 多项式拟合结果

图2(b)中的散点为利用公式fs(x)/x得到的位移-刚度离散数据点，实线是利用表1中“均匀薄板恢复力”行的k1、k2和k3系数绘制得到的拟合曲线，点划线为线性项k1。结果显示，在小位移处的拟合曲线和数据散点相差较大，线性刚度与实验数据也有明显偏离。该现象在图2(a)中的位移-弹性恢复力曲线中没有体现，然而在图2(b)中位移-刚度曲线中却非常明显。重新以位移-刚度数据为目标，同样以三次多项式为函数模型，拟合结果如图2 (b)中的虚线所示。其三次多项式系数见表1中“均匀薄板刚度”行。从图中可以看出小位移处的准确性得到了提高。在数据拟合过程中采用是是最小二乘法，其残差Q的公式为

(5)

式中，yei是三次多项式的计算值，yi是待拟合的数据。当yei和yi均接近0时(例如恢复力接近0时)，无论估计是否准确，其残差Q可能依然很小，由此造成了拟合失真。因此，在拟合辨识实验数据时，应优先考虑对位移-刚度数据进行拟合，以提高准确性。

由图4可以看出,系统的频率偏差值维持在±0.2 Hz之内,能够使柴储混合电力系统稳定运行,由此证明所提出的负荷频率协调控制策略能够保证系统频率稳定运行。

(a) 弹性恢复力-位移辨识结果

(b) 刚度-位移辨识结果

2.3 压电双晶薄板的辨识与数据拟合

下面通过压电双晶薄板的例子，进一步展示位移恢复力数据和位移-刚度数据在非线性系统辨识中的区别。采用与均匀板相同的质量配重和实验流程，压电双晶薄板装置受到110 Hz的正弦基础激励，激励幅值在5 s内从0自由地增加到3.5g。图片3(a)中的散点为位移-弹性恢复力的辨识结果，从曲线形状来看，表现出一种硬刚度特性，类似于图2中的均匀薄板，其三次多项式拟合结果如图3(a)中实线所示，其三次多项式系数见表1中“压电双晶薄板恢复力”行。然而，图3(b)所显示的位移-刚度曲线却表现出更加复杂的非线性特性：当位移较小时，刚度数值较大，随着位移的增大刚度值迅速减小；接着，随着位移的继续增大，刚度值又缓缓上升。由此可见，通过研究位移—刚度函数曲线，可以比位移-弹性恢复力曲线展现更多细节。对于图3(b)所示的非线性特性，即便增加多项式阶数，也无法准确拟合实验数据，反而会引起严重的龙格现象，可见多项式函数已经不适合此类系统。本文在文献[12]提出的双曲正切模型的基础上，提出了含有立方项的改进函数形式

fs(x)=k1x+k3x3+αs[tanh(βsx+γs)-

tanh(γs)]

(6)

利用最小二乘法，得到式(6)中的各项系数为k1=2.566 5×104，k3=4.926 0×1010，βs=7.847 4×104，γs=0.033 4，其结果如图3(b)中的虚线所示。可见这类函数能较好表征这类复杂的非线性刚度。这种软硬特性共存的情况已经被作者在之前的研究中通过频响曲线加以证实[13]，在物理结构上是由于压电陶瓷层和黄铜基板之间胶水所产生的软化作用，造成了薄板刚度在小位移处降低，当位移较大时，薄板的中面应力又造成刚度上升。

(a) 弹性恢复力-位移辨识结果

(b) 刚度-位移辨识结果

由以上两个例子可以发现，刚度-位移曲线能够展现系统非线性的更多细节，并有助于选择合适的函数进行逼近并提高曲线拟合精度。然而，观察基于恢复力曲面法得到的位移-刚度散点可以发现，当位移极小时，刚度散点有不规则的振荡现象出现。这是由于在恢复力曲面法中，位移-刚度数据是通过fs(x)/x得到的，由于实验样本数据不可避免的存在噪声，导致数据发生不规则的振荡。下章介绍的基于希尔伯特变换法可以克服以上问题。

3 希尔伯特变换法与恢复力曲面法的比较

3.1 希尔伯特变换法的辨识过程

(7)

式中：cn是非线性阻尼函数，kn是非线性刚度函数，则系统动力学方程(1)改写为

(8)

在系统质量m和外激励F已知的情况下，非线性刚度函数的辨识公式为

(9)

(10a)

(10b)

该方法的重要特点是可以直接得到刚度函数knEOE(AdEOE)，有助于提高刚度函数的数据质量。而位移-弹性恢复力则可以通过公式fs(x)=AdEOE×knEOE(AdEOE)计算得到。

3.2 系统辨识结果比较

直接利用3.1节中实验的原始数据，进行希尔伯特变换法的辨识。首先，利用HVD分解将振动位移信号分解为2个分量(N=2)。图4显示了对两种薄板的振动位移各分量的三维时-频响应。其中，深色实线是第一个分量(i=1)的包络线；浅色实线是第二个分量(i=2)的包络线。该空间曲线在时间-频率平面上的投影，则展示了该信号的瞬时频率变化规律。第一个分量的瞬时频率是外激励频率，是系统响应的基频。对于均匀薄板来说，除了微小幅值处的噪声区域，第二分量的瞬时频率是基频的3倍；对于压电双晶薄板来说，第二个分量的瞬时频率则有先减小再增大的现象，这显示压电双晶薄板可能含有其他非线性特性。

(a) 均匀薄板

(b) 压电双晶薄板

根据3.1节中的辨识过程，分别对以上两种薄板的进行辨识计算，位移-刚度函数的辨识结果如图5中的实线所示，浅色的散点为恢复力曲面法所得到的结果。经过对比可以发现，希尔伯特变换法的辨识结果，基本不存在小位移处的振荡问题，小位移处的曲线也更加平滑，有利于函数逼近。

在数据利用方面，希尔伯特变换法要优于恢复力曲面法。以均匀圆薄板的辨识为例：实验中采样率为10 240 Hz，共采集数据47 464点。在希尔伯特变换法中，在去除由于HVD变换造成的端点失真数据之后，有效辨识数据尚有26 964点；在恢复力曲面法中，提取完成后的辨识数据则仅有559点。产生以上结果的原因是：恢复力曲面法采用截面原理产生位移-弹性恢复力数据对，只利用了速度为零时的数据，其他数据则被弃之不用，造成了数据利用率低下。而希尔伯特变换法的所有数据均参与位移-刚度数据的构成(其中的端点效应可以通过数据延拓来克服)，所以希尔伯特变换法产生的数据量要大大高于恢复力曲面法。