一道向量问题的探究

李海军

（江苏省东海高级中学，江苏 东海）

新课程标准明确提出，注重培养学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一，数学思维能力包括自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等，在课堂教学中注重培养学生的思维能力，教学生学会思考是每一位数学教师的首要任务，同时也是教学中最有研究价值的问题.经过多年的教学实践，我们发现，学生对于一道较难解答的数学问题，面对的第一个障碍就是思维，审题关过不去，不知从哪里入手，有的学生对题意理解不透彻，不知道向哪一方面的知识点转化，有的学生对于多个知识点不能很好地融合，问题的根源是这些学生的思路没有打开，找不到这些知识点之间的联系，数学逻辑思维能力没有得到锻炼.下面以一节习题探究课为例，探索如何让学生在教师的引导下，一步步地对条件进行转化，找到知识点间的关联，以及如何对条件进行整合，从多角度去考虑问题情景，从而使学生的思维能力得到一定的提升.

一、呈现问题，情景探索

在平面向量的数量积一节中，由于向量问题的抽象性，很多学生不懂得如何利用已知条件，对题意不能很好地把握，不能有效地进行思维的发散，从而失去解题的机会.以下是一道向量问题：

该问题是学生学案上的一道例题，正确率较低，题意中涉及3个向量，很多学生感觉不好做，就不敢去研究了，有的得到了答案，但是对于本题所蕴含的数学思想还不能很好地把握，问题比较严重.因此，对本题作必要的探究，充分地满足他们需要释疑的心理需求，会更好地体现该题的教育价值作用和数学的思维方式.如何对该题作问题的初探，进而激发学生的探究热情，实现培养学生逻辑思维能力的目标呢？以下是课堂实录（整理后）.

师：同学们，平面向量数量积的定义是什么？

师：很好，就是说两个向量相乘，需要知道它们的模与夹角.对于题目所给的条件如何进行转化？比如a→，b→，c→为单位向量，a→·b→=0，可以得到什么？

生：模都为 1，与垂直.

（学生感到不太好转化，有的学生还在思考，教师觉得还要再给点提示）

生1：都是向量，可以先用向量的乘法把括号打开.

师：嗯，这是一种方案，大家试一试.

师：很好，大家看，这种解法运用了平面向量数量积的定义以

师：很好，请你上来演示一下，其他同学在下面做。

（以下为生2板演过程）

得到x2+y2≤x+y

师：做得不错！同学们再想想，向量的坐标还可以怎么设？可以设成角为变量吗？

师：很好，请同学们代入试一试.

（学生演算，教师查看学生求解过程后做总结）

教师总结：通过对一道求向量模长问题的探究，我们分别利用了向量数量积的定义、向量的坐标表示.同学们在思考此类问题时，要多从知识点间的联系以及它的延伸拓展等方面去转化，希望通过这一个问题的研究能对大家思维能力的提高有一定的促进作用.

二、课后反思

通过上面例题的分析，在教师的问题串引领下，学生对试题的知识点初探、思路突破、课中交流、课上展示、解法比较、方法拓展，完善知识体系，强化数学基础知识和基本方法，提升分析问题和解决问题的能力.

1.通过一系列的问题串，构建知识间的联系，培养学生思维能力

数学中的任何一个知识都不可能是孤立的，知识点之间总是存在着一定的联系.比如由向量相乘自然想到数量积、坐标运算等，由向量的模等于1，可以联系单位向量、单位圆等知识.我们在教学中要自然地把这些知识间联系的思想渗透给学生.

数学习题课究竟该怎样上？多年的教学经验告诉我们，要为学生的学而上.在习题课中，不能只是解题，要注重培养学生分析问题与解决问题的能力，更不是去强记解题方法，数学不是机械的东西，当学生思维卡壳时，教师不能着急，不要急于把所有方法抛给学生，而要通过问题串的形式，一步一步引导，把学生的思维慢慢打开，营造班级联动的探究环境，适当的表扬评价，科学的问题引领，激发学生的真正思考，“问题是数学的心脏”，没有问题就没有数学，一系列问题的提出不仅促进了学生思维能力的整合，也进一步促进了学生数学表征的优化.

2.借助师生互动，通过探究式教学，实现知识建构

美国心理学家布鲁纳说“探索是数学的生命线”，数学的本质就是思维.课标指出要注重培养学生的思维能力，对教师来讲，习题课不好上，就题讲题就落入俗套，一节好的习题课要时时渗透着解题的思想和方法，从而追求思维的贯通和方法的灵活运用.上课时教师要重点关注学生的方法是怎么想到的，为什么要这样想，是通过题意展开的思考还是灵光一现式的联想，从而充分暴露他的思维过程.一堂习题探究课，让学生都能“动起来”，师生都能进入享受数学的状态，这就是一节好的习题课.当然，学生思维能力的培养并不是一朝一夕的事情，需要我们教师耐心地指导，带着学生一起去分析，长此以往，我们会和学生一起进步.